Question

7．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段DE上一點(diǎn)，且∠EGF=45°，若AB=10，則DG=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 如圖，連接EF、DF，作FM⊥DE于M．先求出△DEF的面積，再求出高FM，利用勾股定理求出EM、DM，利用等腰三角形的性質(zhì)求出DG即可解決問題．

解答 解：如圖，連接EF、DF，作FM⊥DE于M．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=10，
∵AE=EB=BF=FC=5，
∴ED=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴S_△DEF=100-$\frac{1}{2}$×10×5-$\frac{1}{2}$×10×5-$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{1}{2}$×DE•FM，
∴FM=3$\sqrt{5}$，
在Rt△EFM中，EM=$\sqrt{E{F}^{2}-F{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴DM=DE-EM=4$\sqrt{5}$，
∵∠MGF=45°，
∴∠MGF=∠MFG=45°，
∴MG=FM=3$\sqrt{5}$，
∴DG=DM-MG=$\sqrt{5}$．
故答案為$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用分割法求三角形面積，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形，屬于中考�？碱}型．