Question

19．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，DE⊥AB于點(diǎn)F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若OF=2，求AC的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）連接OD、AD．只要證明OD∥AE，由DE⊥AC，推出DE⊥OD即可解決問(wèn)題；
（2）連接BC．只要證明△DFO∽△BCA，推出$\frac{OF}{AC}$=$\frac{OD}{AB}$=$\frac{1}{2}$即可解決問(wèn)題；

解答 （1）證明：連接OD、AD．

∵點(diǎn)D是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{AD}$，
∴∠DAO=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠DAC=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：連接BC．

∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥AE，
∴∠DOB=∠EAB，
∵∠DFO=∠ACB=90°，
∴△DFO∽△BCA，
∴$\frac{OF}{AC}$=$\frac{OD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{2}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定和性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．