Question

8．對于兩個相似三角形，如果沿周界按對應(yīng)點順序環(huán)繞的方向相同，那么稱這兩個三角形互為順相似；如果沿周界按對應(yīng)點順序環(huán)繞的方向相反，那么稱這兩個三角形互為逆相似．例如，如圖①，△ABC∽△A′B′C′且沿周界ABCA與A′、B′、C′、A′環(huán)繞的方向相同，因此△ABC 與△A′B′C′互為順相似；如圖②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA與 A′、B′、C′、A′環(huán)繞的方向相反，因此△ABC 與△A′B′C′互為逆相似．
（1）根據(jù)圖I、圖Ⅱ和圖Ⅲ滿足的條件，可得下列三對相似三角形：①△ADE與△ABC；②△GHO與△KFO；③△NQP與△NMQ．其中，互為順相似的是①②；互為逆相似的是③．（填寫所有符合要求的序號）
（2）如圖③，在銳角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，點P在△ABC的邊上（不與點A、B、C重合）．過點P畫直線截△ABC，使截得的一個三角形與△ABC互為逆相似．請根據(jù)點P的不同位置，探索過點P的截線的情形，畫出圖形并說明截線滿足的條件，不必說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)互為同相似和互為逆相似的定義即可作出判斷；
（2）根據(jù)點P在點P在△ABC的邊上（不與點A，B，C重合），需要分類討論，逐一分析求解．

解答 解：（1）①△ADE與△ABC；②△GHO與△KFO互為順相似；③△NQP與△NMQ互為逆相似，
故答案為：①②，③；

（2）如圖1，①點P在AC（不含點A、C）上，過點B作∠CBM=∠A，BM交AC于點M．
當(dāng)點P在AM（不含點M）上時，
過點P₁只能畫出1條截線P₁Q，使∠AP₁Q=∠ABC，此時△AP₁Q與△ABC互為逆相似；
當(dāng)點P在CM上時，過點P₂只能畫出2條截線P₂Q₁、P₂Q₂，
分別使∠AP₂Q₁=∠ABC，∠CP₂Q₂=∠ABC，
此時△AP₂Q₁、△Q₂P₂C都與△ABC互為逆相似．
故點P為AC邊上（不與點A，C重合），
②如圖2，點P在AB（不含點A、B）上，
過點C作∠BCM=∠A，CM交AB于點M，
當(dāng)點P在AM（不含點M）上時，過點P₁只能畫出1條截線P₁Q，
使∠AP₁Q=∠ACB，此時△AP₁Q與△ABC互為逆相似；
當(dāng)點P在BM上時，過點P₂只能畫出2條截線P₂Q₁、P₂Q₂，
分別使∠AP₂Q₁=∠ACB，∠BP₂Q₂=∠ACB，
此時△AP₂Q₁、△Q₂P₂B都與△ABC互為逆相似．
③如圖3，點P在BC（不含C、B）上，
過點P只能畫出2條截線PQ₁、PQ₂，分別使∠CPQ₁=∠CAB，∠BPQ₂=∠CAB，
此時△CPQ₁、△Q₂PB都與△ABC互為逆相似．

點評 主要考查了相似三角形的知識點、分類討論的數(shù)學(xué)思想以及接受與理解新生事物的能力．準(zhǔn)確理解題設(shè)條件中“同相似”“逆相似”的定義是正確解題的先決條件，在分析與解決問題的過程中，要考慮全面，進行分類討論，避免漏解．