Question

5．如圖，直線y=$\frac{1}{2}$x與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）交于點A，將直線y=$\frac{1}{2}$x向上平移3個單位長度后，與y軸交于點C，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）交于點B，若OA=3BC，則k的值為$\frac{81}{32}$．

Answer 1

分析 作AE⊥y軸于E，BF⊥y軸于F．由△AEO∽△BFC，得到=$\frac{BF}{AE}$=$\frac{BC}{OA}$=$\frac{1}{3}$，設(shè)A（m，$\frac{1}{2}$m），則B（$\frac{1}{3}$m，$\frac{1}{6}$m+3），想辦法列方程組求出m、k即可．

解答 解：如圖，作AE⊥y軸于E，BF⊥y軸于F．

∵OA∥BC，
∴∠BCF=∠AOE，∵∠BFC=∠AEO，
∴△AEO∽△BFC，
∴$\frac{BF}{AE}$=$\frac{BC}{OA}$=$\frac{1}{3}$，設(shè)A（m，$\frac{1}{2}$m），則B（$\frac{1}{3}$m，$\frac{1}{6}$m+3），
由題意$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{6}m+3=\frac{3k}{m}}\\{\frac{1}{2}{m}^{2}=k}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{9}{4}}\\{k=\frac{81}{32}}\end{array}\right.$，
∴K=$\frac{81}{32}$，
故答案為$\frac{81}{32}$．

點評 本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、相似三角形的判定和性質(zhì)，二元一次方程組等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線構(gòu)造相似三角形，學會利用方程組解決問題，屬于中考�？碱}型．