Question

13．（1）如圖①，A，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)在一條直線上，AE=CF，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)分別作DE⊥AC，BF⊥AC，連接BD交AC于點(diǎn)G，若AB=CD，試說(shuō)明FG=EG．
（2）若將△DCE沿AC方向移動(dòng)變?yōu)槿鐖D②的圖形，（1）中其他條件不變，上述結(jié)論是否仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）連接BE、FD，首先由題意推出AF=CE，∠BFA=∠DEC=90°，則由全等三角形的判定定理HL證得Rt△BFA≌Rt△DEC，便知BF=DE，推出四邊形BEDF為平行四邊形，即可推出BD與EF互相平分，即FG=EG；
（2）同（1）的證明過(guò)程．

解答 解：（1）連接BE、FD，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°．
又∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
在Rt△BFA與Rt△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL），
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
∴BD與EF互相平分，
∴FG=EG；

（2）上述結(jié)論還成立．理由如下：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°．
又∵AE=CF，
∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE，
在Rt△BFA與Rt△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL），
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
∴BD與EF互相平分，
∴FG=EG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．