Question

5．如圖，直線y=ax+1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）相交于點(diǎn)P，PC⊥x軸于點(diǎn)C，且PC=2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）若點(diǎn)Q為雙曲線上點(diǎn)P右側(cè)的一點(diǎn)，且QH⊥x軸于H，當(dāng)以點(diǎn)Q、C、H為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A坐標(biāo)代入直線解析式求出a的值，確定出直線解析式，把y=2代入直線解析式求出x的值，確定出P坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值，即可確定出雙曲線解析式；
（2）設(shè)Q（a，b），代入反比例解析式得到b=$\frac{4}{a}$，分兩種情況考慮：當(dāng)△QCH∽△BAO時(shí)；當(dāng)△QCH∽△ABO時(shí)，由相似得比例求出a的值，進(jìn)而確定出b的值，即可得出Q坐標(biāo)．

解答 解：（1）把A（-2，0）代入y=ax+1中，求得a=$\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x+1，
由PC=2，把y=2代入y=$\frac{1}{2}$x+1中，得x=2，即P（2，2），
把P代入y=$\frac{k}{x}$得：k=4，
則雙曲線解析式為y=$\frac{4}{x}$；

（2）設(shè)Q（a，b），
∵Q（a，b）在y=$\frac{4}{x}$上，
∴b=$\frac{4}{a}$，
當(dāng)△QCH∽△BAO時(shí)，可得$\frac{CH}{AO}$=$\frac{QH}{BO}$，即$\frac{a-2}{2}$=$\frac{1}$，
∴a-2=2b，即a-2=$\frac{8}{a}$，
解得：a=4或a=-2（舍去），
∴Q（4，1）；
當(dāng)△QCH∽△ABO時(shí)，可得$\frac{CH}{BO}$=$\frac{QH}{AO}$，即$\frac{a-2}{1}$=$\frac{2}$，
整理得：2a-4=$\frac{4}{a}$，
解得：a=1+$\sqrt{3}$或a=1-$\sqrt{3}$（舍），
∴Q（1+$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$-2）．
綜上，Q（4，1）或Q（1+$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$-2）．

點(diǎn)評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定直線解析式，待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．