Question

如圖，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從A點出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運(yùn)動；同時點Q從C點出發(fā)，沿著CA以每秒3cm的速度向A點運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為x秒．
（1）x為何值時，PQ∥BC；
（2）是否存在某一時刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此時AP的長；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)

S△BCQ

S△ABC

=

1

3

時，求

S△APQ

S△ABQ

的值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：動點型

分析：（1）當(dāng)PQ∥BC時，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得出關(guān)于AP，PQ，AB，AC的比例關(guān)系式，我們可根據(jù)P，Q的速度，用時間x表示出AP，AQ，然后根據(jù)得出的關(guān)系式求出x的值．
（2）由△APQ∽△CQB  得出

AP

CQ

=

AQ

CB

，進(jìn)一步代入求x的值；
（3）當(dāng)

S△BCQ

S△ABC

=

1

3

時得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此時時間x正好是（1）的結(jié)果，那么此時PQ∥BC，由此可根據(jù)平行這個特殊條件，得出三角形APQ和ABC的面積比，然后再根據(jù)三角形PBQ的面積=三角形ABC的面積-三角形APQ的面積-三角形BQC的面積來得出答案即可．

解答：解：（1）由題意知 AP=4x，CQ=3x
若PQ∥BC   則△APQ∽△ABC，

AP

AB

=

AQ

AC

，
∵AB=BC=20，AC=30，
∴AQ=30-3x，
∴

4x

20

=

30-3x

30

，
∴x=

10

3

，
∴當(dāng)x=

10

3

時，PQ∥BC．
（2）存在
∵△APQ∽△CQB  則

AP

CQ

=

AQ

CB

，
∴

4x

3x

=

30-3x

20

，
∴9x²-10x=0，
∴x₁=0（舍去）.x2=

10

9

．
∴當(dāng)AP的長為

10

9

時，△APQ∽△CQB，
（3）∵

S△BCQ

S△ABC

=

1

3

，
∴

CQ

AC

=

1

3

，
又∵AC=30，
∴CQ=10，
即3x=10x=

10

3

，
此時，AP=4x=

40

3

，
∴

AP

AB

=

40 3

20

=

2

3

．
∴

S△APQ

S△ABQ

=

AP

AB

=

2

3

．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)三角形相似得出線段比或面積比是解題的關(guān)鍵．