Question

2．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，在三角形內(nèi)裁剪正方形，使正方形四個頂點(diǎn)恰好在三角形的邊上，共有兩種裁法：
（1）裁法1，如圖（1），若a=6，b=8，且正方形兩條邊在直角邊上，試求正方形的邊長x；
（2）裁法2，如圖（2），若a=6，b=8，且正方形一條邊在斜邊上，試求正方形的邊長y；
（3）對于任意Rt△ABC，若c為斜邊，以裁法1得到的正方形面積S₁和以裁法2得到的正方形面積S₂，試猜想S₁與S₂的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）裁法1的正方形的邊長為x，由EF∥BC，于是得到△AEF∽△ABC，所以$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$即可得到x=$\frac{24}{7}$；
（2）根據(jù)勾股定理得到c=10，設(shè)斜邊上的高為h，根據(jù)三角形的面積公式的ab=ch，求出h=4.8得到比例式$\frac{y}{10}=\frac{4.8-y}{4.8}$，即可得到y(tǒng)=$\frac{120}{37}$；
（3）由（1）知，$\frac{x}{a}=\frac{b-x}$，得到x=$\frac{ab}{a+b}$，由（2）知$\frac{y}{c}=\frac{\frac{ab}{c}-y}{\frac{ab}{c}}$，得到y(tǒng)=$\frac{ab}{c+\frac{ab}{c}}$，于是得到$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{{c}^{2}+ab-（a+b）c}{abc}=\frac{（c-a）（c-b）}{abc}$，由于c＞a，c＞b，于是得到（c-a）（c-b）＞0，求出$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$＞0，得到x＞y，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）裁法1的正方形的邊長為x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$，
∴$\frac{x}{6}=\frac{8-x}{8}$，
∴x=$\frac{24}{7}$；

（2）∵a=6，b=8，
∴c=10，
設(shè)斜邊上的高為h，根據(jù)三角形的面積公式的ab=ch，
∴h=4.8，
∵裁法2的正方形的邊長y，則$\frac{y}{10}=\frac{4.8-y}{4.8}$，
解得：y=$\frac{120}{37}$，

（3）S₁＞S₂，理由：
由（1）知，$\frac{x}{a}=\frac{b-x}$，得bx=ab-ax，
∴x=$\frac{ab}{a+b}$，
由（2）知$\frac{y}{c}=\frac{\frac{ab}{c}-y}{\frac{ab}{c}}$，得y=$\frac{abc}{{c}^{2}+ab}$，
即y=$\frac{ab}{c+\frac{ab}{c}}$，
∴$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{c+\frac{ab}{c}}{ab}-\frac{a+b}{ab}$=$\frac{c+\frac{ab}{c}-（a+b）}{ab}$=$\frac{{c}^{2}+ab-（a+b）c}{abc}=\frac{（c-a）（c-b）}{abc}$，
∵c＞a，c＞b，
∴（c-a）（c-b）＞0，
∴$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$＞0，
∴$\frac{1}{y}＞\frac{1}{x}$，
∴x＞y，即裁法1得到的正方形邊長＞裁法2得到的正方形邊長，
∴S₁＞S₂．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的面積公式，勾股定理，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．