Question

9．如圖，Rt△AOB的直角邊OA在x軸上，OA=2，AB=1，將Rt△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△COD，拋物線y=-$\frac{5}{6}$x²+bx+c經(jīng)過B、D兩點．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）連接BD，點P是拋物線上一點，直線OP把△BOD的周長分成相等的兩部分，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得CD=AB=1、OA=OC=2，從而得出點B、D坐標，代入解析式即可得出答案；
（2）由直線OP把△BOD的周長分成相等的兩部分且OB=OD，知DQ=BQ，即點Q為BD的中點，從而得出點Q坐標，求得直線OP解析式，代入拋物線解析式可得點P坐標．

解答 解：（1）∵Rt△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△COD，
∴CD=AB=1、OA=OC=2，
則點B（2，1）、D（-1，2），代入解析式，得：
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{10}{3}+2b+c=1}\\{-\frac{5}{6}-b+c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{2}}\\{c=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{10}{3}$；

（2）如圖，

∵直線OP把△BOD的周長分成相等的兩部分，且OB=OD，
∴DQ=BQ，即點Q為BD的中點，
∴點Q坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
設直線OP解析式為y=kx，
將點Q坐標代入，得：$\frac{1}{2}$k=$\frac{3}{2}$，
解得：k=3，
∴直線OP的解析式為y=3x，
代入y=-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{10}{3}$，得：-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{10}{3}$=3x，
解得：x=1或x=-4，
當x=1時，y=3，
當x=-4時，y=-12，
∴點P坐標為（1，3）或（-4，-12）．

點評 本題主要考查待定系數(shù)求函數(shù)解析式及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及根據(jù)周長相等得出點Q的坐標是解題的關鍵．