Question

12．（1）已知，如圖1，△ABC的周長為l，面積為S，其內(nèi)切圓圓心為O，切點(diǎn)分別為D、E、F，半徑為r，試說明：r=$\frac{2S}{l}$．
（2）請(qǐng)你利用上述探究的結(jié)論，解決下列問題
①已知△ABC的周長為42，AB=14，邊AB上的高為12，則它的內(nèi)切圓的半徑為4
②已知△ABC的三邊長分別為5，12，13．則它的內(nèi)切圓的半徑為1
③已知如圖2，△ABC中，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-3，0）、B（3，0）、C（0，4）．若△ABC內(nèi)心為D．則點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）先表示出△AOB，△BOC，△AOC，再用面積的和即可；
（2）①利用圓的內(nèi)切圓的性質(zhì)以及三角形的面積公式：三角形的面積=$\frac{1}{2}$×三角形的周長×內(nèi)切圓的半徑即可求解．
②先證得△ABC是直角三角形．然后根據(jù)三角形的面積=$\frac{1}{2}$×（AB+BC+AC）×r計(jì)算即可．
③首先根據(jù)三角形的面積=$\frac{1}{2}$×（AB+BC+AC）×r求得內(nèi)切圓的半徑，即可確定D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，連接OA，OB，OC，
∵AB切⊙O于E，
∴OE⊥AB，且OE=r，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB×OE=$\frac{1}{2}$AB×r，
同理：S_△BOC=$\frac{1}{2}$BC×r，
S_△AOC=$\frac{1}{2}$AC×r，
∴S=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC═$\frac{1}{2}$AB×r+$\frac{1}{2}$BC×r+$\frac{1}{2}$AC×r=$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）×r，
∵l=AB+BC+AC，
∴S=$\frac{1}{2}$lr，
∴r=$\frac{2S}{l}$．
（2）①設(shè)內(nèi)切圓的半徑是r，則$\frac{1}{2}$×42r=$\frac{1}{2}$×14×12，
解得：r=4，
即它的內(nèi)切圓的半徑為4．
故答案為：4
②∵△ABC的三邊長分別為5，12，13．
∴5²+12²=13²，
∴△ABC是直角三角形，
由△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×（AB+BC+AC）×r可知：$\frac{1}{2}$（5+12+13）r=$\frac{1}{2}$×5×12．
解得：r=1．
故答案為：1
③∵A（-3，O），B（3，O），C（0，4）
∴AB=6，OC=4，
∴AC=BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴$\frac{1}{2}$（6+5+5）r=$\frac{1}{2}$×6×4，
解得：r=$\frac{3}{2}$，
∴D（0，$\frac{3}{2}$）．
故答案為：（0，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，明確三角形的面積=$\frac{1}{2}$lr是解題的關(guān)鍵．是一道比較簡單的中考常考題．