Question

7．閱讀理解：
如圖1，若在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E與點A，B不重合），分別連結(jié)ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點．解決問題：
（1）如圖1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由．
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，在圖2中作出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E．（作出一個即可，不限作圖工具）
拓展探究：
（3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處．若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，則S_△AME：S_△MEC=1：3（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解．
（2）根據(jù)兩個直角三角形相似得到強相似點的兩種情況即可．
（3）因為點E是梯形ABCD的AB邊上的一個強相似點，所以就有相似三角形出現(xiàn)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段成比例，可以判斷出BE和BC的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方從而可求出解．

解答 解：（1）點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．
理由：∵∠A=55°，
∴∠ADE+∠DEA=125°．
∵∠DEC=55°，
∴∠BEC+∠DEA=125°．
∴∠ADE=∠BEC．（2分）
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點．

（2）作圖如下：


（3）∵點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．
由折疊可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BCD=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$AB．
在Rt△BCE中，tan∠BCE=$\frac{BE}{BC}$=tan30°，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△AME：S_△MEC=1：3，
故答案為：1：3．

點評 本題是相似三角形綜合題，主要考查了相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解強相似點的定義是解題的關(guān)鍵．