Question

13．能夠成為直角三角形邊長的三個正整數(shù)，我們稱之為一組勾股數(shù)，觀察表格所給出的三個數(shù)a，b，c，a＜b＜c．
（1）試找出它們的共同點，并證明你的結(jié)論；
（2）寫出當a=17時，b，c的值．

3，4，5	32+42=52
5，12，13，	52+122=132
7，24，25	72+242=252
9，40，41	92+402=412
…	…
17，b，c	172+b2=c2

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表格找出規(guī)律再證明其成立；
（2）把已知數(shù)據(jù)代入經(jīng)過證明成立的規(guī)律即可．

解答 解：（1）以上各組數(shù)的共同點可以從以下方面分析：
①以上各組數(shù)均滿足a²+b²=c²；
②最小的數(shù)（a）是奇數(shù)，其余的兩個數(shù)是連續(xù)的正整數(shù)；
③最小奇數(shù)的平方等于另兩個連續(xù)整數(shù)的和，
如3²=9=4+5，5²=25=12+13，7²=49=24+25，9²=81=40+41…
由以上特點我們可猜想并證明這樣一個結(jié)論：
設m為大于1的奇數(shù)，將m²拆分為兩個連續(xù)的整數(shù)之和，即m²=n+（n+1），
則m，n，n+1就構(gòu)成一組簡單的勾股數(shù)，
證明：∵m²=n+（n+1）（m為大于1的奇數(shù)），
∴m²+n²=2n+1+n²=（n+1）²，
∴m，n，（n+1）是一組勾股數(shù)；
（2）運用以上結(jié)論，當a=17時，
∵17²=289=144+145，
∴b=144，c=145．

點評 本題考查了勾股數(shù)、勾股定理的逆定理；解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿足a²+b²=c²，則三角形ABC是直角三角形．