Question

7．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O為AC中點(diǎn)，若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接OE，則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，線段OE的最小值是為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)Q是AB的中點(diǎn)，連接DQ，先證得△AQD≌△AOE，得出QD=OE，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可知當(dāng)QD⊥BC時(shí)，QD最小，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得QD⊥BC時(shí)的QD的值，即可求得線段OE的最小值．

解答 解：設(shè)Q是AB的中點(diǎn)，連接DQ，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC=2，O為AC中點(diǎn)，
∴AQ=AO，
在△AQD和△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AO}\\{∠QAD=∠OAE}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
∴△AQD≌△AOE（SAS），
∴QD=OE，
∵點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)QD⊥BC時(shí)，QD最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵QD⊥BC，
∴△QBD是等腰直角三角形，
∴QD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$QB，
∵QB=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴QD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴線段OE的最小值是為 $\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．