Question

12．如圖，過(guò)線段AB兩端點(diǎn)分別作MB⊥AB，NA⊥AB，垂足分別為點(diǎn)B、點(diǎn)A；點(diǎn)D是射線AN上的-點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)D作DC⊥DE，與射線BM交于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)CE；
（1）求證：$\frac{DE}{DC}$=$\frac{AD}{AB}$；
（2）若已知AD=4，AB=8，請(qǐng)問(wèn)當(dāng)AE長(zhǎng)為多少時(shí)，線段CE的長(zhǎng)恰巧為10？
（3）若BC=2AD，△DCE與四邊形ABCD的面積之比是2：5，求sin∠DCE的值．

Answer 1

分析 （1）首先過(guò)D作DF⊥AN于點(diǎn)F，判斷出四邊形BADF是矩形，即可推得FD=AB；然后根據(jù)三角形相似的判定方法，判斷出△CDF∽△EDA，即可推得$\frac{DE}{DC}=\frac{AD}{FD}$，再根據(jù)FD=AB，判斷出$\frac{DE}{DC}$=$\frac{AD}{AB}$即可．
（2）首先根據(jù)AD=4，AB=8，$\frac{DE}{DC}$=$\frac{AD}{AB}$，判斷出$\frac{DE}{DC}=\frac{1}{2}$，設(shè)DE=x，則DC=2x，在Rt△CDE中，由勾股定理，求出DE的值是多少；然后在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，求出AE的值是多少即可．
（3）首先作CG⊥AN于點(diǎn)G，設(shè)AD=x，AB=y，則BC=2x；然后分別求出△DCE的面積，以及△BCE、△ADE的面積和；然后根據(jù)△DCE與四邊形ABCD的面積之比是2：5，可得△DCE的面積與△BCE、△ADE的面積和的比是2：3，求出x：y的值，進(jìn)而求出sin∠DCE的值是多少即可．

解答 （1）證明：如圖1，過(guò)D作DF⊥AN于點(diǎn)F，，
∵M(jìn)B⊥AB，NA⊥AB，DF⊥AN，
∴四邊形BADF是矩形，
∴FD=AB，∠FDE+∠EDA=90°，
∵DC⊥DE，
∴∠CDF+∠FDE=90°，
∴∠CDF=∠EDA，
在△CDF和△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠EAD=90°}\\{∠CDF=∠EDA}\end{array}\right.$
∴△CDF∽△EDA，
∴$\frac{DE}{DC}=\frac{AD}{FD}$，
又∵FD=AB，
∴$\frac{DE}{DC}$=$\frac{AD}{AB}$．

（2）如圖2，，
∵AD=4，AB=8，$\frac{DE}{DC}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{DE}{DC}=\frac{1}{2}$，
設(shè)DE=x，則DC=2x，
∵DC⊥DE，CE=10，
由勾股定理，可得：x²+（2x）²=10²，
解得：x=2$\sqrt{5}$或x=-2$\sqrt{5}$（舍去），
即DE=2$\sqrt{5}$，
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{E{D}^{2}-D{A}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=2，
∴當(dāng)AE=2時(shí)，線段CE的長(zhǎng)恰巧為10．

（3）如圖3，作CG⊥AN于點(diǎn)G，，
∵M(jìn)B⊥AB，NA⊥AB，CG⊥AN，
∴四邊形BAGC是矩形，
∴AG=BC，CG=AB，
∵BC=2AD，
∴設(shè)AD=x，AB=y，則BC=2x，
∴DG=AG-AD=BC-AD=2x-x=x，
∴CD=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$，
由（1），可得$\frac{DE}{DC}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{x}{y}=\frac{DE}{\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}}$，
∴DE=$\frac{x\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}}{y}$，
∴S_△DCE=$\frac{1}{2}$DE•CD=$\frac{1}{2}$×$\frac{x\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}}{y}$×$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$=$\frac{x}{2y}$（x²+y²），
∵DE=$\frac{x\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}}{y}$，AD=x，
∴AE=$\sqrt{{DE}^{2}{-AD}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{x}^{2}{（x}^{2}{+y}^{2}）}{{y}^{2}}{-x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}}{y}$，
又∵AB=y，
∴BE=y-$\frac{{x}^{2}}{y}$=$\frac{{y}^{2}{-x}^{2}}{y}$，
∴S_△BCE+S_△ADE=$\frac{1}{2}×2x$×$\frac{{y}^{2}{-x}^{2}}{y}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{{x}^{2}}{y}$×x=$\frac{2{xy}^{2}{-x}^{3}}{2y}$，
又∵△DCE與四邊形ABCD的面積之比是2：5，
∴$\frac{x}{2y}$（x²+y²）：$\frac{2{xy}^{2}{-x}^{3}}{2y}$=2：3，
整理，可得
（x²+y²）：（2y²-x²）=2：3，
∴5x²=y²，
∴$\frac{x}{y}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴$\frac{DE}{DC}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴sin∠DCE=$\frac{DE}{CE}=\frac{1}{\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{5}）}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；③兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．
（2）此題還考查了勾股定理的應(yīng)用，三角形的面積的求法，以及三角函數(shù)值的求法，要熟練掌握．