Question

1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、D兩點，與y軸交于點B，四邊形OBCD是矩形，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，4），已知點E（m，0）是線段DO上的動點，過點E作PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，交BD于點H．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當點P在直線BC上方時，請用含m的代數(shù)式表示PG的長度；
（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將D（-4，0），B（0，4）代入y=-x²+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）先求出拋物線與直線BC的交點為（-2，4）（0，4），得出點P在直線BC上方時，m的取值范圍，再根據(jù)P（m，-m²-3m+4），G（m，4），求出PG=-m²-m；
（3）先由DO∥BC，得到$\frac{BG}{DE}=\frac{GH}{HE}$，表示出BG=GH=-m，HE=DE=4+m，從而判斷出只有△PGB∽△DEH，得到比例式求解即可．

解答 解：（1）∵四邊形OBCD是正方形，點B坐標為（0，4），
∴D點的坐標是（-4，0），
∵點B和點D在拋物線上
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-16-4b+c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴該拋物線的解析式為：y=-x²-3x+4；
（2）∵4=-m²-3m+4，解得m=-3或0，
∴拋物線與直線BC的交點為（-3，4）（0，4），
∴點P在直線BC上方時，m的取值范圍是：-3＜m＜0，
∵E（m，0），B（0，4），
∵PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，
∴P（m，-m²-3m+4），G（m，4），
∴PG=-m²-3m+4-4=-m²-3m，
（3）∵拋物線的解析式為：y=-x²-3x+4；
設點P（m，-m²-3m+4），
∴BG=m，DE=m+4，
∵DO∥BC，
∴$\frac{BG}{DE}=\frac{GH}{HE}$，
∵GH=4，
∴BG=GH=-m，HE=DE=4+m，
∵以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似且∠PGB=∠DEH=90°，
∴△PGB∽△DEH，
∴$\frac{PG}{DE}=\frac{GB}{HE}$，
∴GB=PG，
∴-m=-m²-3m，
∴m=2或m=0（舍）
即：m=2

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合，其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、線段的表示、正方形的性質(zhì)等知識，綜合性較強，運用數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關鍵．