Question

2．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，4），若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-2，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形BPOH是菱形？若存在，求出符合條件的，P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△BCM的面積與△ABC的面積相等，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；
（4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△BCQ為直角三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)，可得c的值，代入A的坐標(biāo)，可得b的值；
（2）根據(jù)菱形的對(duì)稱軸垂直且互相平分，可得P的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式得到坐標(biāo)；
（3）分兩種情況分別討論求得即可；
（4）分別從∠QCB=90°，∠QBC=90°，∠CQB=90°三方面去分析，根據(jù)勾股定理，借助于方程求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c與y軸相交于點(diǎn)C（0，4），
∴c=4．
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+4，
∵拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，A（-2，0）．
∴-$\frac{1}{4}$×4-2b+4=0，
解得b=$\frac{3}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4；
（2）令y=0，則0=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
解得x₁=-2，x₂=8，
∴B（8，0），
∵四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)P必在直線x=4上，
又∵點(diǎn)P在拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4上，
∴y=-$\frac{1}{4}$×16+$\frac{3}{2}$×4+4=6，
∴P（4，6），
故在拋物線上存在點(diǎn)P（4，6），使得四邊形BPOH是菱形；
（3）當(dāng)M在直線BC上方時(shí)，
∵A（-2，0），B（8，0），C（0，4），
∴AB=10，OC=4，BC=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×10×4=20，
∵△BCM的面積與△ABC的面積相等，
∴$\frac{1}{2}$BC•h=20，
∴h=$\frac{40}{4\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
作CD⊥BC，使CD=4$\sqrt{5}$，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥y軸于E，則△CDE∽△CBO，
∴$\frac{CE}{OB}$=$\frac{DE}{OC}$=$\frac{CD}{BC}$，即$\frac{CE}{8}$=$\frac{DE}{4}$=$\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$，
∴CE=4，DE=2，
∴D（2，8），
∵B（8，0），C（0，4），
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4，
過(guò)D點(diǎn)作直線l∥BC，設(shè)直線l的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+b，
代入D（2，8）得8=-$\frac{1}{2}$×2+b，
解得b=9，
∴直線l為y=-$\frac{1}{2}$x+9，
解-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{2}x$+9，
整理得x²-8x+20=0，
∵△=64-4×20＜0，
∴在直線BC的是方不存在這樣的M點(diǎn)，
當(dāng)M在直線BC下方時(shí)，
過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線l，設(shè)直線l的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+b，
代入A（-2，0）得0=-$\frac{1}{2}$×2+b，
解得b=-1，
∴y=-$\frac{1}{2}$x-1，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-1}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴M（10，-6）．
綜上，在拋物線上存在點(diǎn)M，使△BCM的面積與△ABC的面積相等，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（10，-6）；
（4）∵拋物線的對(duì)稱軸為：直線x=-$\frac{\frac{3}{2}}{2×（-\frac{1}{4}）}$=3，
假設(shè)存在點(diǎn)Q，使△BCQ為直角三角形
∴設(shè)Q（3，m），
∵B（8，0），C（0，4），B
∴BC²=80，BQ²=（8-3）²+m²=25+m²，CQ²=9+（4-m）²，
當(dāng)∠QCB=90°時(shí)，則QC²+BC²=QB²，
即9+（4-m）²+80=25+m²，
解得m=10，
∴Q（3，10）；
當(dāng)∠QBC=90時(shí)，則QB²+BC²=QC²，
即9+（4-m）²=80+25+m²，
解得m=-10，
∴Q（3，-10）；
當(dāng)∠BQC=90°時(shí)，則QB²+QC²=BC²，
即9+（4-m）²+25+m²=80，
解得m=2±$\sqrt{19}$，
∴Q（3，2+$\sqrt{19}$）或Q（3，2-$\sqrt{19}$）．
∴符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q₁（3，10），Q₂（3，-10），Q₃（3，2+$\sqrt{19}$），Q₄（3，2-$\sqrt{19}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，菱形形的性質(zhì)，直角三角形的判定以及三角形的面積等知識(shí)．此題難度適中，注意分類(lèi)討論思想，方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．