Question

17．已知一次函數(shù)y=-$\frac{4}{3}$x+4與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求△OMN的面積；
（2）若OC⊥MN于點(diǎn)C，求OC的長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)P是直線上一動(dòng)點(diǎn)，且△OPM的面積為3，直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）分別令一次函數(shù)y=-$\frac{4}{3}$x+4中的x、y為0，即可得出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，即得出線段OM、ON的長(zhǎng)度，結(jié)合三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（2）在直角三角形中依據(jù)勾股定理即可得出線段MN的長(zhǎng)度，再結(jié)合三角形的面積公式即可求出底邊MN上的高OC的長(zhǎng)度；
（3）依據(jù)點(diǎn)P在直線上，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式即可得出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，將其代入點(diǎn)P的坐標(biāo)中，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）依據(jù)題意畫出圖形，如圖1所示．

令一次函數(shù)y=-$\frac{4}{3}$x+4中x=0，則y=4；
令一次函數(shù)y=-$\frac{4}{3}$x+4中y=0，則-$\frac{4}{3}$x+4=0，解得x=3．
∴點(diǎn)M（3，0），點(diǎn)N（0，4），
∴OM=3，ON=4．
S_△OMN=$\frac{1}{2}$OM•ON=$\frac{1}{2}$×3×4=6．
（2）在Rt△OMN中，∠MON=90°，OM=3，ON=4，
∴MN=$\sqrt{O{M}^{2}+O{N}^{2}}$=5．
∵S_△OMN=$\frac{1}{2}$MN•OC=6，
∴OC=$\frac{12}{5}$．
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-$\frac{4}{3}$m+4），
∵△OPM的面積為3，且S_△OPM=$\frac{1}{2}$OM•|-$\frac{4}{3}$m+4|，
∴|-$\frac{4}{3}$m+4|=2，
解得：m=$\frac{3}{2}$，或m=$\frac{9}{2}$．
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，2）或（$\frac{9}{2}$，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積公式以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；（2）求出線段MN的長(zhǎng)度；（3）根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于點(diǎn)P縱坐標(biāo)的方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式找出關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)的方程是關(guān)鍵．