Question

11．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O是一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，連接BC，OE∥BC交⊙O于點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)H．
（1）求證：BE平分∠ABC；
（2）連接OD，若BH=BD=2，求OD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ACB=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OE⊥AC，根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABD=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CBD=∠2，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OE∥BC，
∴OE⊥AC，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠1=∠2，
∴BE平分∠ABC；

（2）解：∵BD是⊙O的切線，
∴∠ABD=90°，
∵∠ACB=90°，BH=BD=2，
∴∠CBD=∠2，
∴∠1=∠2=∠CBD，
∴∠CBD=30°，∠ADB=60°，
∵∠ABD=90°，
∴AB=2$\sqrt{3}$，OB=$\sqrt{3}$，
∵OD²=OB²+BD²，
∴OD=$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，角平分線的判定，勾股定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．