Question

3．某班課題學(xué)習(xí)小組對(duì)無(wú)蓋的紙杯進(jìn)行制作與探究，所要制作的紙杯如圖1所示，規(guī)格要求是，杯口直徑AB=6cm，杯底直徑CD=4cm，杯壁母線AC=BD=6cm，請(qǐng)你和他們一起解決下列問(wèn)題：
（1）小穎同學(xué)先畫(huà)出了紙杯的側(cè)面展開(kāi)示意圖（如圖2，忽略拼接部分），得到的圖形是圓環(huán)的一部分．

①圖2中弧EF的長(zhǎng)為6πcm，弧MN的4πcm，ME=NF=6cm；
②要想準(zhǔn)確畫(huà)出紙杯側(cè)面的設(shè)計(jì)圖，需要確定弧MN所在圓的圓心O，如圖3所示，小穎同學(xué)發(fā)現(xiàn)若將弧EF、MN近似地看做線段，類比相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{弧EF的長(zhǎng)}{弧MN的長(zhǎng)}$=$\frac{OF}{ON}$，請(qǐng)你幫她證明這一結(jié)論．
③根據(jù)②中的結(jié)論，求弧MN所在圓的半徑r及它所對(duì)的圓心角的度數(shù)n．
（2）小穎同學(xué)計(jì)劃利用矩形，正方形紙各一張，分別按如圖4和圖5所示的方式剪出這個(gè)紙杯的側(cè)面，求矩形紙片的長(zhǎng)和寬以及正方形紙片的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論；
②設(shè)弧MN所在圓的半徑為r，所對(duì)的圓心角度數(shù)為n，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式得出$\widehat{MN}$與$\widehat{EF}$的長(zhǎng)，求出其比值即可；
③根據(jù)②中的結(jié)論求出r的值，再由①中兩弧長(zhǎng)即可得出n的值．
（2）延長(zhǎng)EM交FN于點(diǎn)O，根據(jù)∠MON=60°得出△MON和△EOF是等邊三角形，故可得出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，設(shè)RS與$\widehat{EF}$交于點(diǎn)P，OP交ZX于點(diǎn)Q，在Rt△OQN中，根據(jù)∠QON=30°，OQ=ON•cos30°，故可得出長(zhǎng)方形的寬，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為xcm，在Rt△BEF中根據(jù)勾股定理即可得出x的值．

解答 解：（1）①∵直徑AB=6cm，杯底直徑CD=4cm，杯壁母線AC=BD=6cm，
∴杯口圓的半徑為3cm，杯底圓的半徑為2cm，
∴$\widehat{EF}$的長(zhǎng)=2×3π=6πcm，$\widehat{MN}$的長(zhǎng)=2×2π=4πcm，ME=NF=AC=6cm．
故答案為：6π，4π，6；

②設(shè)弧MN所在圓的半徑為r，所對(duì)的圓心角度數(shù)為n，則 $\widehat{MN}$的長(zhǎng)度=$\frac{nπr}{180}$，$\widehat{EF}$ 的長(zhǎng)=$\frac{nπ（r+FN）}{180}$，
所以$\frac{\widehat{EF}}{\widehat{MN}}$=$\frac{\frac{nπ（r+FN）}{180}}{\frac{nπr}{180}}$=$\frac{r+FN}{r}$=$\frac{ON+NF}{ON}$=$\frac{OF}{ON}$，

③由②得，$\frac{\widehat{EF}}{\widehat{MN}}$=$\frac{OF}{ON}$，即$\frac{6π}{4π}$=$\frac{r+6}{r}$，解得r=12，
∵$\widehat{MN}$的長(zhǎng)=$\frac{nπr}{180}$，
∴$\frac{nπ×12}{180}$=4π，解得n=60，
即弧MN所在圓的半徑r等于12cm，及它所對(duì)的圓心角的度數(shù)為60°；

（2）延長(zhǎng)EM交FN于點(diǎn)O，
∵∠MON=60°，
∴△MON和△EOF是等邊三角形，
∴EF=長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=12+6=18，
設(shè)RS與$\widehat{EF}$ 交于點(diǎn)P，OP交ZX于點(diǎn)Q，連接OP，
∴OQ⊥MN，MQ=QN，
在Rt△OQN中，∠QON=30°，OQ=ON•cos30°=6$\sqrt{3}$，
∴長(zhǎng)方形的寬=（18-6$\sqrt{3}$ ）cm，
∵設(shè)正方形邊長(zhǎng)為xcm，
∴在Rt△AOE中，AO²+AE²=OE²，
∵OE=18，
∴BE=BF=9$\sqrt{2}$，
即x²+（x-9$\sqrt{2}$ ）²=18²，
化簡(jiǎn)得，x²-9$\sqrt{2}$ x-81=0，
解得x=$\frac{9}{2}$（$\sqrt{2}$$±\sqrt{6}$），
∵x＞0，
∴x=$\frac{9}{2}$（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$），
∴正方形邊長(zhǎng)為 $\frac{9}{2}$（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓的綜合題，涉及到弧長(zhǎng)的計(jì)算、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，難度適中，關(guān)鍵是理解題意，搞清楚弧長(zhǎng)與底面圓的周長(zhǎng)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．