Question

5．某公司采購某商品60箱銷往甲乙兩地，已知某商品在甲地銷售平均每箱的利潤y₁（百元）與銷售數(shù)量x（箱）的關(guān)系為y₁=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{10}x+5（0＜x≤20）\\-\frac{1}{40}x+75（20≤x＜60）\end{array}\right.$ 在乙地銷售平均每箱的利潤y₂（百元）與銷售數(shù)量t（箱）的關(guān)系為y₂=$\left\{\begin{array}{l}6（0＜t≤30）\\-\frac{1}{15}t+8（30≤t＜60）\end{array}\right.$
（1）將y₂轉(zhuǎn)換為以x為自變量的函數(shù)，則y₂=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{15}x+4}&{（0＜x≤30）}\\{6}&{（30≤x＜60）}\end{array}\right.$；
（2）設(shè)某商品獲得總利潤W（百元），當(dāng)在甲地銷售量x（箱）的范圍是0＜x≤20時(shí)，求W與x的關(guān)系式；（總利潤=在甲地銷售利潤+在乙地銷售利潤）
（3）經(jīng)測算，在20＜x≤30的范圍內(nèi)，可以獲得最大總利潤，求這個(gè)最大總利潤，并求出此時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用采購某商品60箱銷往甲乙兩地，表示出t與x的關(guān)系即可，進(jìn)而代入y₂求出即可；
（2）利用（1）中所求結(jié)合自變量取值范圍得出W與x的函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）利用（1）中所求結(jié)合自變量取值范圍得出W與x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用函數(shù)增減性求出函數(shù)最值即可．

解答 解：（1）∵某公司采購某商品60箱銷往甲乙兩地，在甲地銷售數(shù)量x（箱），
∴在乙地銷售數(shù)量t=60-x，
①當(dāng)0＜t≤30，即0＜60-x≤30，
解得：30≤x＜60，此時(shí)y₂=6；
②當(dāng)30≤t＜60，即30≤60-x＜60，
解得：0＜x≤30，
此時(shí)y₂=-$\frac{1}{15}$（60-x）+8=$\frac{1}{15}$x+4；
綜上，${y_2}=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{15}x+4（0＜x≤30）\\ 6\;\;\;（30≤x＜60）\end{array}\right.$．

（2）綜合y₁=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{10}x+5（0＜x≤20）\\-\frac{1}{40}x+75（20≤x＜60）\end{array}\right.$ 和（1）中 y₂，
當(dāng)對(duì)應(yīng)的x范圍是0＜x≤20 時(shí)，
W₁=（$\frac{1}{10}$x+5）x+（$\frac{1}{15}$x+4）（60-x）
=$\frac{1}{30}$x²+5x+240；

（3）當(dāng)20＜x≤30 時(shí)，
W₂=（-$\frac{1}{40}$x+75）x+（$\frac{1}{15}$x+4）（60-x）
=-$\frac{11}{120}$x²+75x+240
∵x=-$\frac{2a}$=$\frac{4500}{11}$＞30，
∴W在20＜x≤30隨x增大而增大，
∴當(dāng)x=30時(shí)，W₂取得最大值為2407.5（百元）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)最值求法等知識(shí)，得出W與x的函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．