Question

1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點O為坐標原點，直線y=-x+3與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過B、C兩點，且與x軸的另一個交點為A，連接AC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是x軸下方拋物線上一點，過點P作PQ∥AC交BC于點Q，PH∥y軸交BC于點H，當H是線段BQ的中點時，求P點坐標；
（3）在（2）的條件下，點M是CB延長線上一點，過點M作MN∥y軸交拋物線于點N，連接HN，設M點橫坐標為m，當△HMN是以HN為一腰的等腰三角形，求m的值．

Answer 1

分析 （1）將x=0，y=0分別代入直線y=-x+3的解析式，從而可求得點B和點C的坐標，然后將點B、C的坐標代入拋物線的解析式可求得b、c的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）由拋物線求出點A坐標，寫出直線AC直線解析式，設出點P坐標，表示點H坐標，由中點坐標公式可以求出點Q坐標，利用PQ∥AC，兩直線斜率相等即可求出點P坐標；
（3）通過觀察直線BC可以發(fā)現(xiàn)直線傾斜角度為135度，因此△HMN是以HN為一腰的等腰三角形分為兩種情況，根據(jù)等腰三角形性質及45度角性質即可求出m值．

解答 解：（1）∵直線y=-x+3與x軸交于點B，與y軸交于點C，
∴則y=0時，x=3，當x=0，y=3，
故B（3，0），C（0，3），
將B，C代入y=x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{（-3）^{2}-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故拋物線的解析式為：y=x²-4x+3；

（2）如圖：

∵y=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
∴A（1，0），
設直線AC解析式為y=kx+b，
代入AC兩點得：
k=-3，b=3，
∴直線AC解析式：y=-3x+3．
設P（a，a²-4a+3），
∴H（a，-a+3），
∵B（3，0），H是線段BQ的中點，根據(jù)中點坐標公式得：
Q（2a-3，-2a+6），
∵PQ∥AC，
∴直線PQ與直線AC斜率k相等，
∴$\frac{（a^2-4a+3）-（-2a+6）}{a-（2a-3）}$=-3，
解得：a=2，或a=3，
點P是x軸下方拋物線上一點，
∴a=2．
∴P（2-，1）

（3）如圖：

有（2）得P（2，-1），
∴H（2，1），
當HN⊥MN時，
NH=NM，
N（2+$\sqrt{2}$，1），
∴M（2+$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$）．
當N′H⊥BC時，
∴N′H=HM′，
∵∠N′HN=45°，H（2，1），
∴直線HN′解析式為y=x-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$，
解得：x=4，或x=1（舍），
∴N′（4，3），
∴M′（4，-1）．
綜上所述：m=4或m=2+$\sqrt{2}$．

點評 題目考查了二次函數(shù)的綜合應用，通過對一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的求解、平行線的性質、等腰三角形、中點坐標公式等知識點考察，提高學生應用基本公式的能力和解決疑難問題的能力．題目整體較難，適合做壓軸拔高訓練．