Question

5．已知關于x的一元二次方程x²+mx+n=0的兩根分別是一個直角三角形兩銳角的余弦值，且-n=$\frac{m-1}{5}$，求m，n的值．

Answer 1

分析 設直角三角形的兩銳角分別為α，β，根據(jù)根與系數(shù)的關系表示出兩根之和與兩根之積，利用同角三角函數(shù)間的基本關系變形，再利用完全平方公式化簡，將-n=$\frac{m-1}{5}$代入，得到關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，進而得出n．

解答 解：設直角三角形的兩銳角分別為α，β，
根據(jù)題意得：方程x²+mx+n=0的兩根為cosα與cosβ（sinα=cosβ），
∴cosα+cosβ=cosα+sinα=-m，cosαsinα=n＞0，
又sin²α+cos²α=1，
∴（cosα+sinα）²-2sinαcosα=m²-2n=1，
∵-n=$\frac{m-1}{5}$，
∴m²-2（-$\frac{m-1}{5}$）=1，
整理得：5m²+2m-7=0，
解得：m=1或-$\frac{7}{5}$，
當m=1時，-n=0，不合題意舍去；
當m=-$\frac{7}{5}$時，-n=$\frac{-12}{25}$，n=$\frac{12}{25}$，符合題意．
故m=-$\frac{7}{5}$，n=$\frac{12}{25}$．

點評 此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，以及互余兩角三角函數(shù)的關系，熟練掌握根與系數(shù)的關系是解本題的關鍵．