Question

1．如圖所示，正六邊形ABCDEF中，P是ED上一點，直線DC與AP、AB延長線分別相交于點N、M．若三角形AMN和正六邊形ABCDEF的面積相等，EP：PD=1：2．

Answer 1

分析 連接AE，過點F做FG⊥AE于點G，設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為a，△NPD的高為h，利用a表示出六邊形的面積，再用a表示出h的值，根據(jù)△NPD∽△NAM可得出PD的長，進(jìn)而可得出PE的長，由此可得出結(jié)論．

解答 解：連接AE，過點F做FG⊥AE于點G，設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為a，△NPD的高為h，
∵AE=2EG=2EF•cos∠AEF=2a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$a，
S_{六邊形ABCD}=6×$\frac{1}{2}$a×$\frac{\sqrt{3}a}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}{a}^{2}}{3}$．
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠CBM=∠BCM=60°，
∴△BMC是等邊三角形，
∴BM=a．
∵△AMN和正六邊形ABCDEF的面積相等，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$AM×（AE+h）=$\frac{1}{2}$×2a×（$\sqrt{3}$a+h）=$\frac{3\sqrt{3}{a}^{2}}{2}$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$．
∵ED∥AB，
∴△NPD∽△NAM，
∴$\frac{PD}{AM}$=$\frac{h}{h+\sqrt{3}a}$，即$\frac{PD}{2a}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{\frac{\sqrt{3}a}{2}+\sqrt{3}a}$，解得PD=$\frac{2a}{3}$，
∴PE=$\frac{1}{3}$a，
∴EP：OD=1：2．
故答案為：1：2．

點評 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，利用正六邊形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．