Question

9．如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），一次函數(shù)y=-$\frac{2}{3}$x+b的圖象與邊OC、AB分別交于點(diǎn)D、E，并且滿足OD=BE，點(diǎn)M是線段DE上的一個動點(diǎn)．
（1）求b的值；
（2）連結(jié)OM，若△ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1：3，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)N是x軸上方平面內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)四邊形OMDN為菱形時，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性質(zhì)，用b表示點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解決問題；
（2）首先求出四邊形OAED的面積，再根據(jù)條件求出△ODM的面積，即可解決問題；
（3）首先確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，因?yàn)樗倪呅蜲MDN是菱形，可知M、N關(guān)于OC對稱，即可推出點(diǎn)N的坐標(biāo)；

解答 解：（1）y=-$\frac{2}{3}$x+b中，令x=0，解得y=b，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，b），OD=b，
∵OD=BE，
∴BE=b，
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，4-b），
把E點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-$\frac{2}{3}$x+b得4-b=-2+b，
解得b=3．

（2）∵S_{四邊形OAED}=$\frac{1}{2}$（OD+AE）•OA=$\frac{1}{2}$×（3+1）=6，
∵△ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1：3，
∴S_△ODM=1.5，
設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是a，則$\frac{1}{2}$•3a=1.5，解得a=1，
把x=a=1代入y=-$\frac{2}{3}$x+3得y=-$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$+3=$\frac{7}{3}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，$\frac{7}{3}$）．

（3）當(dāng)四邊形OMDN是菱形時，如圖點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是$\frac{3}{2}$．

把y=$\frac{3}{2}$代入直線y=-$\frac{2}{3}$x+3，得-$\frac{2}{3}$x+3=$\frac{3}{2}$，解得x=$\frac{9}{4}$，
則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$），
∵四邊形OMDN是菱形，
∴M、N關(guān)于OC對稱，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查一次函數(shù)綜合題、矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用此時解決問題，屬于中考壓軸題．