Question

7．△ABC中，∠C是最小內(nèi)角．若過頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)為直角三角形，則稱這條直線為△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的伴侶分割線．例如：如圖1，△ABC中，∠A=90°，∠C=20°，若過頂點(diǎn)B的一條直線BD交AC于點(diǎn)D，且∠DBC=20°，則直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的伴侶分割線．

（1）如圖2，△ABC中，∠C=20°，∠ABC=110°．請?jiān)趫D中畫出△ABC關(guān)于點(diǎn)B的伴侶分割線，并注明角度；（畫圖工具不限）
（2）△ABC中，設(shè)∠B的度數(shù)為y，最小內(nèi)角∠C的度數(shù)為x．試探索y與x應(yīng)滿足什么要求時(shí)，△ABC存在關(guān)于點(diǎn)B的伴侶分割線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)伴侶分割線的定義，把∠ABC分成90°角和20°角即可；
（2）設(shè)BD為△ABC的伴侶分割線，分以下兩種情況：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形；△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，分別進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖所示，BD即為△ABC關(guān)于點(diǎn)B的伴侶分割線；


（2）設(shè)BD為△ABC的伴侶分割線，分兩種情況：
①△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，
易知∠C和∠DBC必為底角，
∴∠DBC=∠C=x．
當(dāng)∠A=90°時(shí)，△ABC存在伴侶分割線，
此時(shí)y=90°-x，
當(dāng)∠ABD=90°時(shí)，△ABC存在伴侶分割線，
此時(shí)y=90°+x，
當(dāng)∠ADB=90°時(shí)，△ABC存在伴侶分割線，
此時(shí)x=45°且90°≥y＞45°；

②△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，
當(dāng)∠DBC=90°時(shí)，若BD=AD，則△ABC存在伴侶分割線，
此時(shí)180°-x-y=y-90°，
∴y=135°-$\frac{1}{2}$x，
當(dāng)∠BDC=90°時(shí)，若BD=AD，則△ABC存在伴侶分割線，
此時(shí)∠A=45°，
∴y=135°-x．
綜上所述，當(dāng)y=90°-x，或y=90°+x，或x=45°且y＞x且90°≥y＞45°，或y=135°-$\frac{1}{2}$x，或y=135°-x時(shí)，△ABC存在伴侶分割線．

點(diǎn)評 此題主要考查了復(fù)雜作圖，解決此類題目需要熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．解題的關(guān)鍵是正確理解題意，了解伴侶分割線的意義．