Question

3．如圖1，已知點E在正方形ABCD的邊BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．
（1）圖1中若點E是邊BC的中點，我們可以構造兩個三角形全等來證明AE=EF，請敘述你的一個構造方案，并指出是哪兩個三角形全等（不要求證明）；
（2）如圖2，若點E在線段BC上滑動（不與點B，C重合）．
①AE=EF是否總成立？請給出證明；
②在圖2的AB邊上是否存在一點M，使得四邊形DMEF是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，AG=EC，∠BAE=∠CEF，∠AGE=∠ECF=180°-45°=135°，則△AGE≌△ECF；
（2）①成立，作輔助線，仍然證明△AHE≌△ECF得出結論；
②存在，如圖3，過D作DM⊥AE交AB于點M，構成四邊形DMEF，證明四邊形為平行四邊形即可．

解答 （1）解：如圖1，取AB的中點G，連接EG，
△AGE與△ECF全等；
（2）①若點E在線段BC上滑動時，AE=EF總成立．
證明：如圖2，在AB上截取AH=EC，連接EH，
∵AB=BC，
∴BH=BE，
∴△HBE是等腰直角三角形，
∴∠AHE=180°-45°=135°，
又∵CF平分正方形的外角，
∴∠ECF=135°，
∴∠AHE=∠ECF．
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AHE≌△ECF，
∴AE=EF；
②答：存在，如圖3，
過D作DM⊥AE交AB于點M，
則有：DM∥EF，連接ME、DF，
∵在△ADM與△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}AD=AB\\∠ADM=∠BAE\\∠BAD=∠ABE\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BAE（AAS），
∴MD=AE，
∵AE=EF，
∴MD=EF，
∵MD∥EF，
∴四邊形DMEP為平行四邊形．

點評 本題是四邊形的綜合題，綜合考查了平行四邊形、正方形、全等三角形的性質(zhì)和判定，解決此類題的思路為：構造兩個三角形全等；熟練掌握正方形的性質(zhì)是本題的關鍵．