Question

7．如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，過點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G，連接DG．
（1）求證：四邊形EFDG是菱形；
（2）若AG=7、GF=3，求DF的長．

Answer 1

分析 （1）連接DE交AF于H，先根據(jù)DF=EG，DF∥EG，判定四邊形DFEG是平行四邊形，再根據(jù)GF⊥DE，即可得出四邊形EFDG是菱形；
（2）根據(jù)條件得到FH=$\frac{1}{2}$GF=$\frac{3}{2}$，AF=10，再根據(jù)Rt△ADF中，DH⊥AF，運(yùn)用射影定理即可得到DF²=FH×FA，進(jìn)而得出DF的長．

解答 解：（1）如圖，連接DE交AF于H，
由折疊可得，AF⊥DE，DF=EF，∠DFG=∠EFG，
∵EG∥CD，
∴∠DFG=∠EGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EG=EF，
∴DF=EG，
∵DF∥EG，
∴四邊形DFEG是平行四邊形，
∵GF⊥DE，
∴四邊形EFDG是菱形；

（2）∵四邊形EFDG是菱形，
∴FH=$\frac{1}{2}$GF=$\frac{3}{2}$，
∵AG=7，GF=3，
∴AF=10，
∵Rt△ADF中，DH⊥AF，
∴DF²=FH×FA，
即DF=$\sqrt{\frac{3}{2}×10}$=$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了折疊問題，菱形的判定和性質(zhì)以及射影定理的應(yīng)用，利用射影定理得出DF²=FH×FA是解題答問題（2）的關(guān)鍵．折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．