Question

8．如圖扇形OAPB是半徑為2的⊙O的一部分，點P是弧AB上一點，PM⊥AO，PN⊥BO，垂足分別為M、N，且∠AOB=120°．
（1）當點P為$\widehat{AB}$的中點時，求線段MN的長度．
（2）當點P為$\widehat{AB}$上一動點時，不與點A、B重合，判斷線段MN的長度是否為定值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，延長PM，PN分別交⊙O于E，F(xiàn)，連接PO，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠MPN=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PM=PN，根據(jù)垂徑定理得到PE=2PM，PF=2PN，推出△PEF是等邊三角形，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）延長PM，PN交⊙O于Q，S，根據(jù)垂徑定理得到PM=QM，PN=NS，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠POA=∠QOA，∠PON=∠SON，根據(jù)周角的定義得到∠QOS=120°，過O作OK⊥QS于K，解直角三角形得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，延長PM，PN分別交⊙O于E，F(xiàn)，連接PO，
∵PM⊥AO，PN⊥BO，
∴∠PMO=∠PNO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠MPN=60°，
∵點P為$\widehat{AB}$的中點，
∴∠POM=∠PON，
在△POM與△PON中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PMO=∠PNO}\\{∠POM=∠PON}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△PMO≌△PNO，
∴PM=PN，
∵PM⊥AO，PN⊥BO，
∴PE=2PM，PF=2PN，
∴PE=PF，
∴△PEF是等邊三角形，
∴PE=EF，
∵OP=2，
∴PM=PN=$\sqrt{3}$，
∴EF=2$\sqrt{3}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$EF=$\sqrt{3}$；

（2）延長PM，PN交⊙O于Q，S，
∵PM⊥AO，PN⊥BO，
∴PM=QM，PN=NS，
∵OP=OQ=OS，
∴∠POA=∠QOA，∠PON=∠SON，
∴∠QOS=120°，
過O作OK⊥QS于K，
∴∠QOK=60°，QK=SK，∴QK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OQ=$\sqrt{3}$，
∴QS=2$\sqrt{3}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$QS=$\sqrt{3}$（定值），
∴MN的長度是定值．

點評 此題考查了垂徑定理，勾股定理，以及三角形的中位線定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．