Question

10．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且BD=BC．延長AD到E，使得∠EBD=∠CAB．

（1）如圖1，若BD=2$\sqrt{5}$，AC=6．
①求證：BE是⊙O的切線；
②求DE的長；
（2）如圖2，連結(jié)CD，交AB于點(diǎn)F，若BD=2$\sqrt{5}$，CF=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）①連接OB，由條件可求得∠EBD=∠ABO，再利用圓周角定理可求得∠EBD+∠OBD=90°，可證明BE是⊙O的切線；
②利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求得∠BDE=∠ACB，可證明△ACB∽△BDE，利用相似三角形的性質(zhì)可求得DE的長；
（2）延長DB、AC交于點(diǎn)H，可證得△ABD≌△ABH，可求得HB，再利用△DCH∽△DBF，可求得DF的長，設(shè)⊙O的半徑為r，則AD=AH=2r，在Rt△DCH中可求得CH=4，在Rt△ADC中，AD=2r，CD=8，AC=2r-4，由勾股定理可得到關(guān)于r的方程，可求得圓的半徑．

解答 解：
（1）①如圖1，連接OB，

∵BD=BC，
∴∠CAB=∠BAD，
∵∠EBD=∠CAB，
∴∠BAD=∠EBD，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD=90°，OA=BO，
∴∠BAD=∠ABO，
∴∠EBD=∠ABO，
∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，
∵點(diǎn)B在⊙O上，
∴BE是⊙O的切線；
②∵四邊形ACBD是圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠ACB=∠BDE，且∠EBD=∠CAB，
∴△ACB∽△BDE，
∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{BC}{DE}$，即$\frac{6}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{DE}$，
解得DE=$\frac{10}{3}$；

（2）如圖2，延長DB、AC交于點(diǎn)H，

∵AD為⊙O的直徑，
∴∠ABD=∠ABH=90°，
∵BD=BC，
∴∠DAB=∠HAB，
在△ABD和△ABH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAB=∠HAB}\\{AB=AB}\\{∠ABD=∠ABH}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ABH（ASA），
∴BD=HB=2$\sqrt{5}$，
∵∠DCH=∠FBD=90°，
∴△DCH∽△DBF，
∴$\frac{DC}{BD}$=$\frac{DH}{DF}$，即$\frac{DF+3}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{DF}$，解得DF=5，
設(shè)⊙O的半徑為r，則AD=AH=2r，
在Rt△DCH中，CH=$\sqrt{D{H}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{8}^{2}}$=4，
∴AC=2r-4，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD²=AC²+CD²，
∴（2r）²=（2r-4）²+8²，解得r=5，
即⊙O的半徑為5．

點(diǎn)評 本題為圓的綜合應(yīng)用，涉及切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓圓角定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、方程思想等知識．在（1）②中證明△ACB∽△BDE是解題的關(guān)鍵，在（2）中構(gòu)造三角形全等求得DF的長是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．