Question

14．如圖，A，B分別在x，y軸上，OA=a，OB=b，且a²+b²-4a-4b=-8．
（1）求△ABO的面積；
（2）直線y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$交y軸于點(diǎn)F，OD垂直于AF，交AB于D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，EF在y軸上，BE=OF，OM⊥AF交AB于點(diǎn)M，ME交AF于點(diǎn)P，試判斷$\frac{PE}{PF}$的值是否發(fā)生變化？若不改變，請(qǐng)說(shuō)明理由，并求值．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)a²+b²-4a-4b=-8，可得（a-2）²+（b-2）²=0，據(jù)此求出a、b的值是多少；然后根據(jù)直角三角形的面積的求法，求出△ABO的面積是多少即可；
（2）首先求出直線AB的解析式，以及點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AF的解析式；然后根據(jù)OD⊥AF，求出OD的斜率和OD的解析式；然后聯(lián)立OD、AB的解析式，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)是多少即可；
（3）首先設(shè)BE=OF=a（m＞0），求出AF、OM的解析式各為多少；然后聯(lián)立AB、OM的解析式，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，2+a），確定出直線ME的解析式是多少；最后聯(lián)立AF、ME的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少；再判斷出點(diǎn)P在EF的中垂線上，所以$\frac{PE}{PF}$=1，$\frac{PE}{PF}$的值一定，不發(fā)生變化，據(jù)此解答即可．

解答 解：（1）∵a²+b²-4a-4b=-8，
∴（a-2）²+（b-2）²=0，
∴a-2=0，b-2=0，
解得a=2，b=2，
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$×|OA|×|OB|
=$\frac{1}{2}×2×2$
=2

（2）∵a=2，b=2，
∴A（-2，0），B（0，2），
∴直線AB的解析式為y=x+2；
∵直線y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$交y軸于點(diǎn)F，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是：（0，$\frac{4}{3}$），
設(shè)直線AF的解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AF的解析式是y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
∵OD⊥AF，
∴OD的斜率是：（-1）÷$\frac{2}{3}$=-$\frac{3}{2}$，
∴OD是解析式是y=-$\frac{3}{2}$x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-$\frac{4}{5}$，$\frac{6}{5}$）．

（3）設(shè)BE=OF=a（a＞0），
則E（0，2+a）、F（0，-a），
∵A（-2，0）、F（0，-a），
∴直線AF的解析式為：y=-$\frac{a}{2}$x-a；
∵OM⊥AF，
∴OM的斜率是：
（-1）÷（-$\frac{a}{2}$）=$\frac{2}{a}$，
∴OM的解析式為y=$\frac{2}{a}$x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{2}{a}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2a}{2-a}}\\{y=\frac{4}{2-a}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（$\frac{2a}{2-a}，\frac{4}{2-a}$），點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，2+a），
∴設(shè)直線ME的解析式是：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a}{2-a}•k+b=\frac{4}{2-a}}\\{b=2+a}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{a}{2}}\\{b=2+a}\end{array}\right.$，
∴ME的解析式為y=$\frac{a}{2}$x+2+a，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}{2}x+2+a}\\{y=-\frac{a}{2}x-a}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{2}{a}}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-2-$\frac{2}{a}$，1 ），
∵E（0，2+a）、F（0，-a），
∴EF的中垂線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)是：
（2+a-a）÷2
=2÷2
=1，
∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是1，
∴點(diǎn)P在EF的中垂線上，
∴PE=PF，
∴$\frac{PE}{PF}$=1，即$\frac{PE}{PF}$的值一定，不發(fā)生變化．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問(wèn)題的能力．
（2）此題還考查了三角形的面積的求法，直線解析式的求法，以及直線的中垂線的特征，要熟練掌握．