Question

6．如圖，已知L₁⊥L₂，⊙O與L₁，L₂都相切，⊙O的半徑為1cm，直線AB與直線L₁所夾的銳角為30°，若⊙O與直線AB沿L₂同時向右移動，⊙O的移動速度為2cm/s，直線AB的移動速度為3cm/s，設(shè)移動時間為t（s）．

（1）如圖，連接OA，則∠OAB的度數(shù)為105°；
（2）如圖，兩個圖形移動一段時間后，當(dāng)直線AB經(jīng)過圓心，求圓心O移動的距離；
（3）在移動過程中，求當(dāng)直線AB與⊙O相切時t的值．

Answer 1

分析 （1）連接OA，如圖1，利用切線長定理就可求出∠OAC的度數(shù)．
（2）設(shè)⊙O₁與l₁的切點為N，連接O₁N，如圖2，在Rt△A₁O₁N中，利用三角函數(shù)可求出A₁N的長，然后再利用A₁N=AA₁-AE-EN求出t的值，就可解決問題．
（3）分兩種情況討論計算，①當(dāng)直線AB與⊙O第一次相切時，設(shè)⊙O₂與直線l₁、A₂B₂分別相切于點F、G，連接O₂F、O₂G、O₂A₂，如圖3，在Rt△A₂O₂F中，利用三角函數(shù)可求出A₂F的長，然后利用AF兩種表示方法建立關(guān)于t的方程，就可解決問題．
②當(dāng)直線AB與⊙O第二次相切時，設(shè)⊙O₂與直線l₁、A₂B₂分別相切于點F、G，連接O₂F、O₂G、O₂A₂，如圖4，在Rt△A₂O₂F中，利用三角函數(shù)可求出A₂F的長，然后利用AF兩種表示方法建立關(guān)于t的方程，就可解決問題．

解答 解：（1）如圖1，

∵L₁⊥L₂，⊙O與L₁，L₂都相切，
∴∠OAC=∠OAC=45°，
∵直線AB與直線L₁所夾的銳角為30°，
∴∠BAD=60°，
∴∠OAB=105°，
故答案為：105；
（2）如圖2，

當(dāng)O₁、A₁、B₁恰好在同一直線上時，如圖②，
設(shè)⊙O₁與l₁的切點為N，
連接O₁N，則有O₁N⊥l₁．
在Rt△A₁O₁N中，
∵∠O₁A₁N=∠B₁A₁D₁=60°，
∴O₁N=A₁N•tan∠O₁A₁N=$\sqrt{3}$A₁N．
∵O₁N=1，
∴$\sqrt{3}$A₁N=1，
∴A₁N=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵A₁N=AA₁-AE-EN=AA₁-OE-OO₁=3t-1-2t=t-1，
∴t-1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$+1，
∴OO₁=2t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+2．
∴圓心O移動的距離為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+2）cm
（3）①當(dāng)直線AB與⊙O第二次相切時，如圖3，

此時⊙O移動到⊙O₂的位置，直線AB移動到A₂B₂的位置，
設(shè)⊙O₂與直線l₁、A₂B₂分別相切于點F，G，連接O₂F，O₂G，O₂A₂，
則有O₂F⊥l₁，O₂G⊥A₂B₂，∠GA₂O₂=∠FA₂O₂．
∵∠GA₂F=∠B₂A₂D₂=60°，
∴∠A₂O₂F=30°．
在Rt△A₂O₂F中，
∵O₂F=1，∠A₂O₂F=30°，
∴A₂F=O₂F•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$A₂F=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AF=AA₂+A₂F=3t+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AF=AE+EF=OE+OO₂=1+2t，
∴3t+$\frac{\sqrt{3}}{3}$=1+2t，
∴t=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴當(dāng)直線AB與圓O第一次相切時t的值為（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）秒
②當(dāng)直線AB與⊙O第二次相切時，如圖4，

此時⊙O移動到⊙O₂的位置，直線AB移動到A₂B₂的位置，
設(shè)⊙O₂與直線l₁、A₂B₂分別相切于點F，G，連接O₂F，O₂G，O₂A₂，
則有O₂F⊥l₁，O₂G⊥A₂B₂，∠GA₂O₂=∠FA₂O₂．
∵∠GA₂F=∠B₂A₂D₂=60°，
∴∠O₂A₂F=30°．
在Rt△A₂O₂F中，
∵O₂F=1，∠O₂A₂F=30°，
∴O₂F=A₂F•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$A₂F=1，
∴A₂F=$\sqrt{3}$．
∵AF=AA₂-A₂F=3t-$\sqrt{3}$，AF=AE+EF=OE+OO₂=1+2t，
∴3t-$\sqrt{3}$=1+2t，
∴t=$\sqrt{3}$+1．
∴當(dāng)直線AB與圓O第二次相切時t的值為（$\sqrt{3}$+1）秒
即：當(dāng)直線AB與⊙O相切時t的值為（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）秒和（$\sqrt{3}$+1）秒．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、銳角三角函數(shù)等知識，利用一條線段的兩種表示方法建立關(guān)于t的方程是解決第（2）小題與第（3）小題的關(guān)鍵．