Question

1．如圖，直線y=ax+b與x軸交于A，與y軸交于B，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于點C，D，OA=2OB=2．△OAB與△OAD的面積相等．
（Ⅰ）求直線CD和雙曲線的解析式．
（Ⅱ）根據(jù)圖象直接寫出不等式ax+b＜$\frac{k}{x}$的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)OA=2OB=2，得出A（2，0），B（0，1），運用待定系數(shù)法即可得到直線CD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+1，再根據(jù)△OAB與△OAD的面積相等，可得D（4，-1），即可得到雙曲線的解析式．
（2）求得C（-2，2），D（4，-1），進而得到不等式ax+b＜$\frac{k}{x}$的解集為-2＜x＜0或x＞4．

解答 解：（1）∵OA=2OB=2，
∴A（2，0），B（0，1），
把A（2，0），B（0，1）代入直線y=ax+b，可得
$\left\{\begin{array}{l}{0=2a+b}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線CD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+1，
∵△OAB與△OAD的面積相等，
∴△OAB與△OAD的AO邊上的高相等，
∵OB=1，
∴點D的縱坐標(biāo)為-1，
在y=-$\frac{1}{2}$x+1中，令y=-1，則x=4，
即D（4，-1），
代入雙曲線y=$\frac{k}{x}$，可得k=-4，
∴雙曲線的解析式為y=-$\frac{4}{x}$．

（2）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+1}\\{y=-\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴C（-2，2），
又∵D（4，-1），
∴不等式ax+b＜$\frac{k}{x}$的解集為-2＜x＜0或x＞4．

點評 此題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩函數(shù)交點坐標(biāo)求法以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．