Question

9．如圖，E是正方形ABCD中CD邊上的一點(diǎn)，AE交對(duì)角線BD于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作AE的垂線交BC于點(diǎn)G，連AG交對(duì)角線BD于點(diǎn)Q．
（1）求證：AP=PG．
（2）線段BQ、PQ、PD有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（3）若AB=4，過點(diǎn)G作GF⊥BD于F，直接寫出GF+PD=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）如圖1，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△AMP≌△PNG，得AP=PG；
（2）如圖2，作BM⊥BD，BM=PD，連AM，依次證明△ADP≌△ABM，△MAQ≌△PAQ，得出△MBQ是直角三角形，根據(jù)勾股定理得結(jié)論；
（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，先利用勾股定理求BD的長(zhǎng)，則可得DH的長(zhǎng)，證明△APH≌△PGF，F(xiàn)G=PH，則GF+PD=PD+PH=DH=2$\sqrt{2}$．

解答 證明：（1）如圖1，過P作MN⊥AD，交AD于M，交BC于N，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD∥BC，
∴MN⊥BC，
∴∠AMP=∠GNP=90°，
∴∠PGN+∠GPN=90°，
∵AE⊥PG，
∴∠APG=90°，
∴∠APM+∠GPN=90°，
∴∠PGN=∠APM，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB=45°，
∴△PMD是等腰直角三角形，
∴PM=DM，
∵AD=CD=MN，
∴AD-DM=MN-PM，
即AM=PN，
∴△AMP≌△PNG，
∴AP=PG；

（2）結(jié)論：PQ²=PD²+BQ²．
作BM⊥BD，BM=PD，連AM，MQ，如圖2，
∵∠ABD=45°，
∴∠ABM=45°，
∴∠ABM=∠ADB，
∵AB=AD，
∴△ADP≌△ABM（SAS），
∴AM=AP，∠BAM=∠DAP，
由（1）得：AP=PG，
∵AP⊥PG，
∴∠PAQ=45°，
∴∠DAP+∠BAQ=∠BAM+∠BAQ=45°，
即∠MAQ=45°，
易證△MAQ≌△PAQ（SAS），
∴MQ=PQ，
∵∠MBQ=∠MBA+∠ABD=90°，
∴MQ²=BM²+BQ²，
∴PQ²=PD²+BQ²．
（3）如圖3，過A作AH⊥BD于H，
∵AB=AD=4，∠BAD=90°，
∴BD=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴DH=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$，
∵∠AHP=∠GFP=90°，
∴∠HAP+∠APH=90°，
∵∠APH+∠GPF=90°，
∴∠HAP=∠GPF，
∵AP=PG，
∴△APH≌△PGF，
∴FG=PH，
∴GF+PD=PD+PH=DH=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，是正方形中�？碱}型，難度適中，本題的三問證明三角形全等是關(guān)鍵．