Question

17．如圖，二次函數(shù)y=ax²-$\frac{3}{2}$x+2（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A（-4，0）．
（1）求拋物線與直線AC的函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)D（m，n）是拋物線在第二象限的部分上的一動點(diǎn)，四邊形OCDA的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系；
（3）若點(diǎn)E為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F為x軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，就可求得拋物線的解析式，根據(jù)A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得直線AC的函數(shù)解析式；
（2）先過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，運(yùn)用割補(bǔ)法即可得到：四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+四邊形OCDH的面積，據(jù)此列式計(jì)算化簡就可求得S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系；
（3）由于AC確定，可分AC是平行四邊形的邊和對角線兩種情況討論，得到點(diǎn)E與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入拋物線的解析式，就可得到滿足條件的所有點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵A（-4，0）在二次函數(shù)y=ax²-$\frac{3}{2}$x+2（a≠0）的圖象上，
∴0=16a+6+2，
解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2；
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{0=-4k+b}\\{2=b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AC的函數(shù)解析式為：$y=\frac{1}{2}x+2$；

（2）∵點(diǎn)D（m，n）是拋物線在第二象限的部分上的一動點(diǎn)，
∴D（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2），
過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，則DH=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2，AH=m+4，HO=-m，
∵四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+四邊形OCDH的面積，
∴S=$\frac{1}{2}$（m+4）×（-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2）+$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2+2）×（-m），
化簡，得S=-m²-4m+4（-4＜m＜0）；

（3）①若AC為平行四邊形的一邊，則C、E到AF的距離相等，
∴|y_E|=|y_C|=2，
∴y_E=±2．
當(dāng)y_E=2時(shí)，解方程-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=2得，
x₁=0，x₂=-3，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3，2）；
當(dāng)y_E=-2時(shí)，解方程-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=-2得，
x₁=$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，x₂=$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，-2）或（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，-2）；

②若AC為平行四邊形的一條對角線，則CE∥AF，
∴y_E=y_C=2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3，2）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3，2）、（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，-2）、（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，-2）．

點(diǎn)評 本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線及拋物線的解析式、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、解一元二次方程、平行四邊形的性質(zhì)、拋物線的性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用，運(yùn)用割補(bǔ)法及配方法是解決問題的關(guān)鍵，解題時(shí)注意運(yùn)用分類討論的思想．