Question

12．拋物線y=-3x²-2x+m與x軸交于A、B兩點，P為頂點．
（1）當△PAB為Rt△時，求m的值；
（2）當△PAB為等邊三角形時，求m的值，你能得到什么結論嗎？

Answer 1

分析 由拋物線與x軸的交點得出判別式＞0，得出m的取值范圍，再求出A、B、P的坐標；
（1）根據等腰直角三角形的性質得出方程，解方程即可；
（2）根據等邊三角形的性質得出方程，解方程即可．

解答 解：∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴△=（-2）²-4×（-3）×m=4+12m＞0，
解得：m＞-$\frac{1}{3}$，
由題意得：P的坐標是（-$\frac{1}{3}$，$\frac{3m+1}{3}$）
A的坐標是（$\frac{-2-\sqrt{4+12m}}{6}$，0），B的坐標是（$\frac{-2+\sqrt{4+12m}}{6}$，0）；
（1）當△PAB時直角三角形時，如圖1所示：
根據題意得：-$\frac{1}{3}$-$\frac{-2-\sqrt{4+12m}}{6}$=$\frac{3m+1}{3}$，
解得：m=0或m=-$\frac{1}{3}$（不合題意，舍去），
故m=0；
（2）當△PAB為等邊三角形時，如圖2所示：
根據題意得：-$\frac{1}{3}$-$\frac{-2-\sqrt{4+12m}}{6}$=$\sqrt{3}$×$\frac{3m+1}{3}$，
解得：m=-$\frac{1}{3}$（不合題意，舍去），或m=-$\frac{2}{9}$，
∴m=-$\frac{2}{9}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點坐標、根的判別式、等腰直角三角形的性質、等邊三角形的性質；本題有一定難度，需要畫出圖形，根據題意得出方程才能得出結果．