Question

17．如圖①，已知l₁∥l₂，l₃與l₁和l₂交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線l₃上運(yùn)動（但不與A、B重合），點(diǎn)C、點(diǎn)D是l₁和l₂上的定點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P在線段AB之間運(yùn)動，試探求∠1，∠2，∠3的關(guān)系；
（2）若點(diǎn)P在線段AB之外運(yùn)動，畫圖，并探求∠1，∠2，∠3的關(guān)系，請選一種結(jié)論進(jìn)行證明．

Answer 1

分析 （1）作PE∥AC，如圖1，由于l₁∥l₂，則PE∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1=∠EPC，∠2=∠EPD，所以∠1+∠2=∠3；
（2）∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系不發(fā)生變化，它們的關(guān)系為∠1+∠2=∠3；與（1）的證明方法一樣可得∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3．

解答 解：（1）∠1+∠2=∠3．理由如下：
作PE∥AC，如圖1，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥BD，
∴∠1=∠EPC，∠2=∠EPD，
∴∠1+∠2=∠3；
（2）∠1，∠2，∠CPD之間的關(guān)系不發(fā)生變化
仍是：∠CPD=∠1+∠2；
作PE∥AC，如圖1，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥BD，
∴∠1=∠EPC，∠2=∠EPD，
∴∠1+∠2=∠3，即∠CPD=∠1+∠2；
當(dāng)P點(diǎn)在A的外側(cè)時(shí)，如圖a，過P作PF∥l₁，交l₄于F，
∴∠1=∠FPC．
∵l₁∥l₄，
∴PF∥l₂，
∴∠2=∠FPD
∵∠CPD=∠FPD-∠FPC
∴∠CPD=∠2-∠1．
當(dāng)P點(diǎn)在B的外側(cè)時(shí)，如圖b，過P作PG∥l₂，交l₄于G，
∴∠2=∠GPD
∵l₁∥l₂，
∴PG∥l₁，
∴∠1=∠CPG
∵∠CPD=∠CPG-∠GPD
∴∠CPD=∠1-∠2．

點(diǎn)評 本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．