Question

5．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各邊中點(diǎn)分別為A₁、B₁、C₁、D₁，順次連接得到四邊形A₁B₁C₁D₁，再取各邊中點(diǎn)A₂、B₂、C₂、D₂，順次連接得到四邊形A₂B₂C₂D₂，…，依此類推，這樣得到四邊形A₅B₅C₅D₅，則四邊形A₅B₅C₅D₅的周長為3．

Answer 1

分析 首先證明四邊形A₁B₁C₁D₁是矩形，求出其周長，再根據(jù)規(guī)律同理可證四邊形A₃B₃C₃D₃是矩形，周長為6，四邊形A₅B₅C₅D₅是矩形，周長為3．

解答 解：∵點(diǎn)A₁，D₁分別是AB、AD的中點(diǎn)，
∴A₁D₁是△ABD的中位線
∴A₁D₁∥BD，A₁D₁=$\frac{1}{2}$BD，
同理：B₁C₁∥BD，B₁C₁=$\frac{1}{2}$BD
∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁=$\frac{1}{2}$BD，
∴四邊形A₁B₁C₁D₁是平行四邊形．
∵AC⊥BD，AC∥A₁B₁，BD∥A₁D₁，
∴A₁B₁⊥A₁D₁即∠B₁A₁D₁=90°
∴四邊形A₁B₁C₁D₁是矩形，
∵A₁B₁=$\frac{1}{2}$AC=4，A₁D₁=$\frac{1}{2}$BD=2，
∴四邊形A₁B₁C₁D₁的周長為12．
同理可證四邊形A₃B₃C₃D₃是矩形，周長為6，四邊形A₅B₅C₅D₅是矩形，周長為3．
故答案為3．

點(diǎn)評 本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）．解答此題時(shí)，需理清菱形、矩形與平行四邊形的關(guān)系．