Question

10．如圖1，在矩形OABC中，點A的坐標(biāo)為（0，-2），頂點坐標(biāo)為（2，-6）的拋物線過A，B兩點，設(shè)點P是∠AOC平分線上的一個動點（不與點O重合）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點P運動到何處時，△PBC的周長最��？求此時點P的坐標(biāo)和△PBC的周長；
（3）如圖2，過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，設(shè)∠AOC的平分線與AB交于點N，問是否存在點P，使得以P，N，Q為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用頂點式設(shè)出拋物線的解析式，再代入點A的坐標(biāo)，進而得解；
（2）先寫出A、B、C三點的坐標(biāo)，再求出點C關(guān)于∠AOC的角平分線的對稱點C′，連接CC′交∠AOC的對角線于點P，即為所求，進而根據(jù)勾股定理求出BC′的長，即可得解；
（3）因為以點P為頂點的角始終是45°的角，所以可分以點N 為直角頂點和以點Q為直角頂點兩種情況討論，即可得解．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²-6，把點A（0，-2）代入可得：
-2=4a-6，
解得：a=1，
∴y=（x-2）²-6，
即：y=x²-4x-2；
（2）如圖1，∵四邊形OABC是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB，
∴點B的縱坐標(biāo)為-2，
∴x²-4x-2=-2，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴B（4，-2），C（4，0），
∵OP是∠AOC的平分線，∴∠C′OP=∠COP=45°，直線OP的解析式為y=-x，OC′=OC=4，
∴C′（0，-4），
設(shè)直線BC′的解析式為：y=kx+b，
把點B（4，-2）和點C′（0，-4）代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{4k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直線BC′的解析式為：y=x-4，其與之下OP的交點為P，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-4}\\{y=-x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴點P（2，-2），
在Rt△BAC′中，AC′=2，AB=4，
∴BC′=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵PC=PC′，
∴△PBC的周長為：PC+PB+BC=PC′+PB+BC=BC′+BC=2$\sqrt{5}$+2；
（3）如圖2，
∵OP是∠AOC的平分線，PQ∥y軸，
∴∠QPN=45°，PQ⊥AB，
①當(dāng)PN⊥QN時，△PNQ是等腰直角三角形，PQ交AB于點M（a，-2），
∴∠NPM=∠NQM=∠PNM=∠QNM=45°，
∴PN=$\sqrt{2}$MN，
PQ=$\sqrt{2}$PN=2MN=2（2-a）
設(shè)P（a，-a），Q（a，a²-4a-2），
PQ=-a-（a²-4a-2）=-a²+3a+2，
∴2（2-a）=-a²+3a+2，
解得：a₁=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，${a}_{2}=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，
∴點P（$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，$-\frac{5+\sqrt{17}}{2}$）或P（$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{\sqrt{17}-5}{2}$）；
②當(dāng)PQ⊥QN時，點Q與點B重合，
此時，點P（4，-4），
綜上可知，存在點P，即：P₁（$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，$-\frac{5+\sqrt{17}}{2}$），P₂（$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{\sqrt{17}-5}{2}$），P₃（4，-4）．

點評 本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及利用對稱求三角形的周長的最小值問題，還考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及分類討論思想，特別注意，等腰直角三角形的直角頂點不固定時，要注意分類討論．