Question

4．如圖，在矩形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$AB，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，DH⊥AE于點(diǎn)H，連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，連接DE交BF于點(diǎn)O，下列結(jié)論：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④AB=HF，其中正確的有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 ①根據(jù)角平分線的定義可得∠BAE=∠DAE=45°，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=$\sqrt{2}$AB，從而得到AE=AD，然后利用“角角邊”證明△ABE和△AHD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DH，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根據(jù)平角等于180°求出∠CED=67.5°，從而判斷出①正確；
②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根據(jù)等角對(duì)等邊可得OE=OD=OH，判斷出②正確；
③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角邊角”證明△BEH和△HDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BH=HF，判斷出③正確；
④判斷出△ABH不是等邊三角形，從而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到④錯(cuò)誤．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$AB，
∵AD=$\sqrt{2}$AB，
∴AE=AD，
在△ABE和△AHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DAE}&{\;}\\{∠ABE=∠AHD=90°}&{\;}\\{AE=AD}&{\;}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，
∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故①正確；
∵AB=AH，
∵∠AHB=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（對(duì)頂角相等），
∴∠OHE=67.5°=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠DHO=90°-67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°-45°=22.5°，
∴∠DHO=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正確；
∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBH=∠OHD}&{\;}\\{BE=DH}&{\;}\\{∠AEB=∠HDF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故③正確；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等邊三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故④錯(cuò)誤；
綜上所述，結(jié)論正確的是①②③共3個(gè)；故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟記各性質(zhì)并仔細(xì)分析題目條件，根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角，從而得到三角形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．