Question

17．如圖，已知矩形ABCD的邊AB=3，BC=9，將其折疊，使得點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折疊后折痕EF的長是$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 設(shè)BD于EF交于點(diǎn)O，則O是BD的中點(diǎn)，易證△ABD∽△OED，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)的邊的比相等，即可求得OE的長，再根據(jù)EF=2OE即可求解．

解答 解：設(shè)BD于EF交于點(diǎn)O，則O是BD的中點(diǎn)．
在直角△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+{3}^{2}}$=3 $\sqrt{10}$cm；
則OD=$\frac{3}{2}$$\sqrt{10}$．
∵B、D關(guān)于EF對(duì)稱，
∴∠EOD=90°，
又∵矩形ABCD中，∠A=90°，
∴∠A=∠EOD=90°．
在△ABD于△OED中，∠A=∠EOD=90°，∠ADB=∠ODE，
∴△ABD∽△OED．
∴$\frac{OE}{AB}$=$\frac{OD}{AD}$，
∴OE=$\frac{OD}{AD}$•AB=$\frac{\sqrt{10}}{2}$cm．
∴EF=2OE=$\sqrt{10}$cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確證明△ABD∽△OED是解題的關(guān)鍵．