Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²-2ax-2（a＞0）與y軸交于點A，點B的坐標為（$\frac{1}{a}$，-2），過點B作y軸的平行線，交拋物線于點C，連結(jié)AB、AC．
（1）當點B與點C關(guān)于x軸對稱時，求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；
（2）當點B在拋物線對稱軸上時，求點C的坐標；
（3）在y軸上取一點D，使AD=AB，且點D、B在AC的兩側(cè)，連結(jié)CD，求AC，將四邊形ABCD的面積分為1：2兩部分時a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點B與點C關(guān)于x軸對稱，求出點C的坐標，進而求出a的值；
（2）根據(jù)點B在拋物線對稱軸上，求出a的值，進而求出點C的坐標；
（3）先求出點C的坐標，再根據(jù)當AC將四邊形ABCD的面積分為1：2兩部分時，得到BC=2AD或AD=2BC，然后分類討論點C在點B的上方還是下方，求出a的值．

解答 解：（1）∵B（$\frac{1}{a}$，-2），
∴C（$\frac{1}{a}$，2）．
∴$\frac{1}{a}$-2-2=2，
∴a=$\frac{1}{6}$，
∴拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{1}{3}$x-2；            
（2）∵拋物線的對稱軸為x=1，
∴$\frac{1}{a}$=1，
∴a=1．
∴點C的坐標為（1，-3）．                                
（3）∵點C在拋物線上，點B的坐標為（$\frac{1}{a}$，-2），
∴點C的坐標為（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$-4）．
當AC將四邊形ABCD的面積分為1：2兩部分時，
BC=2AD或AD=2BC．
當點C在點B上方時，如圖①．
$\frac{1}{a}$-4-（-2）=$\frac{2}{a}$，a=-$\frac{1}{2}$（舍去）．
$\frac{1}{a}$-4-（-2）=$\frac{1}{2a}$，a=$\frac{1}{4}$．
當點C在點B下方時，如圖②．
-2-（$\frac{1}{a}$-4）=$\frac{1}{2a}$，a=$\frac{3}{4}$．
-2-（$\frac{1}{a}$-4）=$\frac{2}{a}$，a=$\frac{3}{2}$．
綜上，a=$\frac{1}{4}$，a=$\frac{3}{4}$，a=$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題的知識，此題涉及到對稱的性質(zhì)、待定系數(shù)求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，此題（3）問需要分類討論點C在點B的上方還是下方，此題難度不大．