Question

10．如圖，有一定圓O，直徑為AB，今有一動點P在半圓AmB上移動，過點P作AB的垂線PQ，試證：∠OPQ的平分線恒通過一定點．

Answer 1

分析 設(shè)∠OPQ的平分線交⊙O于C點，連結(jié)OC，如圖，由PC平分∠OPQ得∠1=∠2，加上∠C=∠2，則∠C=∠1，于是可判斷OC∥PQ，而PQ⊥AB，所以O(shè)C⊥AB，則根據(jù)垂徑定理的推論可判斷OC平分弧ACB，即點C為半圓AB的中點．

解答 證明：設(shè)∠OPQ的平分線交⊙O于C點，連結(jié)OC，如圖，
∵OB=OC，
∴∠C=∠2，
∵PC平分∠OPQ，
∴∠1=∠2，
∴∠C=∠1，
∴OC∥PQ，
而PQ⊥AB，
∴OC⊥AB，
∴OC平分弧ACB，
即點C為半圓AB的中點，
∴∠OPQ的平分線恒通過一定點．

點評 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．