Question

14．如圖，BD是⊙O的直徑，點A是劣弧BC的中點，DF是⊙O的切線交BC于點F，AD交BC于點E．
（1）求證：EF=DF；
（2）若AE=2，ED=4，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1所示：連接CD．由點A是劣弧BC的中點可知∠ADB=∠ADC，由∠EDF=90°-∠ADB，∠FED=90°-∠ADC，可證明∠FED=∠EDF；
（2）如圖2所示：連接AB．先證明△ABE∽△ADB，從而可求得AB=2$\sqrt{3}$，利用特殊銳角三角函數(shù)值可知∠BDA=∠ABC=30°，從而得到BD=2AB=4$\sqrt{3}$，在△BDF中由∠DBF=30°可求得DF=4．

解答 解：（1）如圖1所示：連接CD．

∵點A是劣弧BC的中點，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AC}$．
∴∠ADB=∠ADC．
∵BD是圓O的直徑，
∴∠DCB=90°．
∴∠CED+∠EDC=90°．
∵DF是圓O的切線，
∴∠BDF=90°．
∴∠EDF+∠BDE=90°．
∴∠FED=∠EDF．
∴EF=DF．
（2）如圖2所示：連接AB．

∵點A是劣弧BC的中點，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AC}$．
∴∠ADB=∠ABC．
又∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△ADB．
∴AB²=AE•AD．
∴AB=2$\sqrt{3}$．
∵BD是圓O的直徑，
∴∠DAB=90°．
∴tan∠BDA=tan∠ABC=$\frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠BDA=∠ABC=30°．
∴BD=2AB=4$\sqrt{3}$，∠DBF=30°．
∴EF=DF=DB×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=4．

點評 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的性質(zhì)和判定、特殊銳角三角函數(shù)值求得AB的長以及∠BDA=∠ABC=30°是解題的關鍵．