Question

4．如圖，設(shè)一個三角形的三邊分別是3，1-3m，8．
（1）求m的取值范圍；
（2）是否存在整數(shù)m使三角形的周長為偶數(shù)？若存在，求出三角形的周長；若不存在，說明理由；
（3）如圖，在（2）的條件下，當(dāng)AB=8，AC=1-3m，BC=3時，若D是AB的中點(diǎn)，連CD，P是CD上動點(diǎn)（不與C，D重合，當(dāng)P在線段CD上運(yùn)動時，有兩個式子）：①$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△APC}+{S}_{△BPD}}$；②$\frac{PA+PB}{AB}$，其中有一個的值不變，另一個的值改變．問題：
A．請判斷出誰不變，誰改變；
B．若不變的求出其值，若改變的求出變化的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角形三邊關(guān)系列出不等式組求解即可，
（2）利用m的取值范圍求出m為整數(shù)的值，即可求出三角形的周長，
（3）點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A到CD的距離為h，則點(diǎn)B到CD的距離為h，可得S_△APC與S_△BPD，得郵S_△APC+S_△BPD與S_△ABC的關(guān)系，即可得出$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△APC}+{S}_{△BPD}}$的值，由AB=8，AC=7，BC=3，結(jié)合由三角形兩邊之和大于第三邊性質(zhì)可以知道1＜$\frac{PA+PB}{AB}$＜$\frac{5}{4}$．

解答 解：（1）由三角形三邊關(guān)系可得$\left\{\begin{array}{l}{3+1-3m＞8}\\{3+8＞1-3m}\end{array}\right.$，解得-10/3＜m＜-4/3；
（2）∵-10/3＜m＜-4/3；
∴m為整數(shù)的時候取值只可為-2，
∴1-3m=7，
∴周長是3+7+8=18；
（3）∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A到CD的距離為h，則點(diǎn)B到CD的距離為h，
∴S_△APC=$\frac{1}{2}$PC•h，S_△BPD=$\frac{1}{2}$PD•h，
∴S_△APC+S_△BPD=$\frac{1}{2}$（PC+PD）h=$\frac{1}{2}$CD•h，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$CD•h+$\frac{1}{2}$CD•h=CD•h，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△APC}+{S}_{△BPD}}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2
∴①不改變；
∵AB=8，AC=7，BC=3
∴由三角形兩邊之和大于第三邊性質(zhì)可以知道AB＜AP+PB＜AC+CB，即8＜AP+PB＜10，
∴1＜$\frac{PA+PB}{AB}$＜$\frac{10}{8}$，即1＜$\frac{PA+PB}{AB}$＜$\frac{5}{4}$．
∴②改變．

點(diǎn)評 本題主要考查了面積及等積變換，涉及三角形三角性質(zhì)，解不等式及等積變換等知識，解題的關(guān)鍵是等積變換及三角形三邊關(guān)系的靈活運(yùn)用．