Question

4．大豆是一種非常受歡迎的農(nóng)作物，已知種植某種大豆的平均產(chǎn)量為2.5噸/公頃，所需成本為8千元/公頃，某地銷售大豆的單價(jià)y千元/噸與種植大豆的面積x公頃之間關(guān)系如圖所示：
為了鼓勵(lì)農(nóng)民種植糧食的熱情，市政府出臺(tái)相關(guān)政策：對(duì)本市種植大豆的農(nóng)戶按保護(hù)價(jià)4，5千元/噸進(jìn)行補(bǔ)償（即當(dāng)銷售單價(jià)低于4.5千元/噸時(shí)，差價(jià)由政府提供補(bǔ)助，比如銷售單價(jià)為4千元/噸，則政府補(bǔ)貼農(nóng)戶0.5千元/噸，若單價(jià)不少于4.5千元/噸時(shí)，則不補(bǔ)助）．
（1）若該市計(jì)劃種植大豆300公頃，銷售后是否享受政府補(bǔ)貼？若享受，則補(bǔ)貼總金額是多少千元？
（2）設(shè)該市銷售大豆獲得的利潤(rùn)（不含政府補(bǔ)貼部分）為w千元，當(dāng)種植面積為多少公頃時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少千元？
注：銷售利潤(rùn)=（銷售單價(jià)×每公頃產(chǎn)量-每公頃成本）×公頃數(shù)
（3）為保證所得的總利潤(rùn)（含可能得到的政府補(bǔ)貼）達(dá)到748千元，應(yīng)該種植多少公頃大豆？

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求得銷售大豆的單價(jià)y千元/噸與種植大豆的面積x公頃之間關(guān)系式，進(jìn)一步代入x=300，求得y，進(jìn)一步判定即可；
（2）利用銷售利潤(rùn)=（銷售單價(jià)×每公頃產(chǎn)量-每公頃成本）×公頃數(shù)列出函數(shù)解析式，利用配方法解答即可；
（3）利用（2）中求得的函數(shù)解析式與748建立方程求得答案即可．

解答 解：（1）設(shè)銷售大豆的單價(jià)y千元/噸與種植大豆的面積x公頃之間關(guān)系式為y=kx+5，
代入（100，4.8）得k=-$\frac{1}{500}$，
則y=-$\frac{1}{500}$x+5，
當(dāng)x=300時(shí)，y=-$\frac{1}{500}$×300+5=4.4，
補(bǔ)貼總金額是（4.5-4.4）×300×2.5=75（千元）．
答：銷售后享受政府補(bǔ)貼，則補(bǔ)貼總金額是75千元．
（2）由題意得W=2.5x（-$\frac{1}{500}$x+5）-8x=-$\frac{1}{200}$x²+4.5x=-$\frac{1}{200}$（x-450）²+1012.5．
即當(dāng)x=450時(shí)，W取得最大值，也就是當(dāng)種植面積為450公頃時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1012.5千元．
（3）①所得總利潤(rùn)不享受政府補(bǔ)貼時(shí)達(dá)到748千元，
由題意得-$\frac{1}{200}$x²+4.5x=748，
解得：x=220或x=680．
當(dāng)x=220公頃時(shí)，y=4.56千元＞4.5，不享受政府補(bǔ)貼；
當(dāng)x=6800公頃時(shí)，y=3.64千元＜4.5，享受政府補(bǔ)貼（舍去）；
②所得總利潤(rùn)享受政府補(bǔ)貼時(shí)達(dá)到748千元，
當(dāng)y=-$\frac{1}{500}$x+5=4.5時(shí)，x=250，
銷售利潤(rùn)w=（4.5×2.5-8）x=748，解得x≈230＜250（舍去）；
答：應(yīng)該種植220公頃公頃大豆．

點(diǎn)評(píng) 此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查拋物線的基本性質(zhì)，另外將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，從而來(lái)解決實(shí)際問題．