Question

已知?ABCD的對角線交于點O，M為OD上一點，過點M的直線分別交AD、CD于P、Q兩點，與BA、BC的延長線于E、F兩點．
（1）如圖1，若M為OD的中點，EF∥AC，求證：PE=FQ；
（2）如圖2，若M為OD的中點，EF與AC不平行時，求證：PE+FQ=2PQ
（3）如圖3，若BM=nDM，EF與AC不平行時，請直接寫出：

PE+QF

PQ

的值為

 

．（請用含n的式子表示）

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）證明△AEP≌△DPQ≌△QCF，即可得到答案．
（2）過O點作ON∥AD交EF于N，則ON是梯形CFPA的中位線，由梯形中位線的性質定理得出AP+CF=2ON，再利用AAS證明△OMN≌△DMP，得出ON=PD，則AP+CF=2PD．然后由CF∥PD，根據平行線分線段成比例定理得出

QF

QP

=

CF

PD

，

PE

PQ

=

AP

PD

，將兩個式子相加，化簡整理后得出QF+PE=2PQ．
（3）若BM=nDM，則有

OM

DM

=

n-1

2

，∴

ON

PD

=

OM

DM

=

n-1

2

，結合（2）即可得到答案．

解答：解：（1）如圖1，∵MP∥OA，DM=MO，
∴DP=PA．
在?ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠EAP=∠QDP，∠AEP=∠DQP．
在△APE與△DPQ中，

∠EAP=∠QDP ∠AEP=∠DQP PA=PD

∴△APE≌△DPQ（AAS），
∴PE=PQ．
同理∴△CPQ≌△DPQ，QF=PQ，
∴PE=FQ；

（2）若EF與AC不平行，如圖2，過O點作ON∥AD交EF于N，則ON是梯形CFPA的中位線，則AP+CF=2ON．
易證△OMN≌△DMP，
∴ON=PD，
∴AP+CF=2PD．
∵CF∥PD，
我們∴

QF

QP

=

CF

PD

，

∵DQ∥AE，
∴

PE

PQ

=

AP

PD

，
∴

QF

PQ

+

PE

PQ

=

CF

PD

+

AP

PD

，
即：

QF+PE

PQ

=

CF+AP

PD

=

2PD

PD

=2，
∴PE+FQ=2PQ．

（3）若BM=nDM，則有

OM

DM

=

n-1

2

，∵ON∥PD∴

ON

PD

=

OM

DM

=

n-1

2

，
由（2）知道，

QF+PE

PQ

=

CF+AP

PD

=

2ON

PD

=n-1
∴

QF

PQ

+

PE

PQ

=

CF

PD

+

AP

PD

，
∴，

QF+PE

PQ

=

CF+AP

PD

=

2ON

PD

=n-1．
故答案為n-1．

點評：本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，梯形的中位線定理，平行線分線段成比例定理，有一定難度．（2）中正確地作出輔助線，利用平行線分線段成比例定理得出比例式是解題的關鍵．