Question

如圖，AB是⊙O的直徑，延長(zhǎng)AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足為點(diǎn)B，點(diǎn)D在PC上．設(shè)∠PCB=α，∠POC=β．
求證：tanα•tan

β

2

=

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：證明題

分析：連接AC先求出△PBD∽△PAC，再求出

PB

PA

=

1

3

，最后得到tanα•tan

β

2

=

1

3

．

解答：證明：連接AC，則∠A=

1

2

∠POC=

β

2

，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴tanα=

BD

BC

，BD∥AC，
∴∠PBD=∠A，
∵∠P=∠P，
∴△PBD∽△PAC，
∴

BD

AC

=

PB

PA

，
∵PB=0B=OA，
∴

PB

PA

=

1

3

，
∴tana•tan

β

2

=

BD

BC

•

BC

AC

=

BD

AC

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及圓周角的知識(shí)，本題解題的關(guān)鍵是求出△PBD∽△PAC，再求出tanα•tan

β

2

=

1

3

．