Question

7．已知在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD⊥AB于D．
（1）按要求補(bǔ)全圖1，若點(diǎn)E是線段CD上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），①過點(diǎn)E作EF⊥CD交AC于F；②連接BF；③取BF中點(diǎn)G，連接EG；
（2）判斷（1）中EG與BC的位置關(guān)系并證明；
（3）將（1）中的△CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，其它條件不變，判斷EG與AF的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

分析 （1）補(bǔ)全的圖如圖1所示．
（2）如圖1中，結(jié)論：EG∥BC．延長(zhǎng)FE交BC于H．只要證明FE=EH，即可利用三角形中位線定理證明．
（3）結(jié)論：AF=2EG．延長(zhǎng)FE到H，使得EH=EF，連接CH、BH．首先證明BH=2EG，再證明△ACF≌△BCH，推出AF=BH即可解決問題．

解答 解：（1）補(bǔ)全的圖如圖1所示．

（2）如圖1中，結(jié)論：EG∥BC．
理由：延長(zhǎng)FE交BC于H．
∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵EF⊥CD，
∴∠CEF=∠CEH=90°，
∴∠CFH=∠CHF=45°，
∴CF=CH，∵CE⊥FH，
∴EF=EH，∵FG=GB，
∴EG∥BH，
∴EG∥BC．

（3）結(jié)論：AF=2EG．理由如下：
如圖2中，延長(zhǎng)FE到H，使得EH=EF，連接CH、BH．

∵EF=EH，F(xiàn)G=GB，
∴BH=2EG，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴CE=EF=EH，CE⊥FH，
∴CF=CH，∠FCH=∠ACB=90°，
∴∠ACF=∠BCH，
在△ACF和△BCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠ACF=∠BCH}\\{CF=CH}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCH，
∴AF=BH，∵BH=2EG，
∴AF=2EG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．