Question

2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（b，0），C（-1，2），且|a+2|+（b-4）²=0

（1）求a，b的值．
（2）在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)M，使△COM的面積=$\frac{1}{2}$△ABC的面積，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P為線段CD延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，$\frac{∠OPD}{∠DOE}$的值是否會(huì)改變？若不變，求其值；若改變，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
（2）分兩種情形討論①當(dāng)M在x軸上時(shí)，設(shè)M（m，0），由題意：$\frac{1}{2}$•|m|•2=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•6•2．②當(dāng)M在y軸上時(shí)，設(shè)M（0，m），由題意：$\frac{1}{2}$•|m|•1=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•6•2，解方程即可解決問(wèn)題．
（3）結(jié)論：$\frac{∠OPD}{∠DOE}$的值是定值．只要證明∠DOE=∠FOG，∠OPD=2∠FOG即可．

解答 （1）解：∵|a+2|+（b-4）²=0，
|a+2|≥0，（b-4）²≥0，
∴a=-2，b=4．

（2）解：由（1）可知A（-2，0），B（4，0），
①當(dāng)M在x軸上時(shí)，設(shè)M（m，0），
由題意：$\frac{1}{2}$•|m|•2=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•6•2，
∴m=±3，
∴M（3，0）或（-3，0）．
②當(dāng)M在y軸上時(shí)，設(shè)M（0，m），
由題意：$\frac{1}{2}$•|m|•1=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•6•2，
∴m=±6，
∴M（6，0）或（0，-6），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)為（3，0）或（-3，0）或（0，6）或（0，-6）．

（3）解：如圖2中，結(jié)論：$\frac{∠OPD}{∠DOE}$的值是定值，$\frac{∠OPD}{∠DOE}$=2．
理由：∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠AOE+∠FOG=90°，
∵∠AOE=∠EOP，∠EOP+∠POF=90°，
∴∠FOG=∠POF，
∵∠DOE+∠AOE=90°，∠AOE+∠FOG=90°，
∴∠DOE=∠FOG，
∵CP∥AG，
∴∠OPD=∠POG=2∠FOG，
∴∠OPD=2∠FOG，
∴$\frac{∠OPD}{∠DOE}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、平行線的性質(zhì)、等角的余角相等等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．