Question

15．已知：直線y=-x+6與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于第一象限P，Q兩點．
（1）若點P的橫坐標為2，求k的值，并直接寫出不等式-x+6＞$\frac{k}{x}$的解集；
（2）若△OPQ（O為坐標原點）為等邊三角形，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由于直線y=-x+6與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于第一象限P，Q兩點，點P的橫坐標為2，代入y=-2+6=4，求得P（2，4），于是得到k=8，解方程組得到Q（4，2），即可得到結論；
（2）由于直線y=-x+6與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于第一象限P，Q兩點，解方程組求得P、Q的坐標，根據兩點間的距離公式得PQ=$\sqrt{72-8k}$，OQ=OP=$\sqrt{36-2k}$，根據等邊三角形的邊相等列方程求得結果．

解答 解：（1）∵直線y=-x+6與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于第一象限P，Q兩點，點P的橫坐標為2，
∴y=-2+6=4，
∴P（2，4），
∴4=$\frac{k}{2}$，
∴k=8，
∴反比例函數的解析式為：y=$\frac{8}{x}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴Q（4，2），
∴不等式-x+6＞$\frac{k}{x}$的解集：2＜x＜4；

（2）∵直線y=-x+6與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于第一象限P，Q兩點，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3+\sqrt{9-k}}\\{{y}_{1}=3-\sqrt{9-k}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3-\sqrt{9-k}}\\{{y}_{2}=3+\sqrt{9-k}}\end{array}\right.$，
根據兩點間的距離公式得PQ=$\sqrt{72-8k}$，OQ=OP=$\sqrt{36-2k}$，
∵△OPQ為等邊三角形，
∴PQ=OQ=OP，
∴$\sqrt{72-8k}$=$\sqrt{36-2k}$，
解得：k=6．

點評 本題考查了反比例函數和一次函數的交點問題，兩點間的距離公式，等邊三角形的性質，熟練掌握兩點間的距離公式是解題的關鍵．